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标题: 虚根问题 [打印本页]

作者: 石崇的BOSS 时间: 2009-4-19 23:58
标题: 虚根问题
若p,q∈R，关于x的二次方程x[sup]2[/sup]+2(p-q)x+2(p[sup]2[/sup]+q[sup]2[/sup])=0有虚根，且它的三次方为实数，求p/q.

作者: 战巡 时间: 2009-4-20 19:57
设这两个虚根是方程 $\\displaystyle x^3=a^3$ 的两个解
那么
$\\displaystyle (x-a)(x^2+a+a^2)=0$

$\\displaystyle x^2+a+a^2=x^2+2(p-q)x+2(p^2+q^2)$

$\\displaystyle 2(p-q)=a$

$\\displaystyle 2(p^2+q^2)=a^2$

$\\displaystyle 2(p^2+q^2)=4(p^2-2pq+q^2)$

$\\displaystyle 2[(\\frac{p}{q})^2+1]=4[(\\frac{p}{q})^2-2\\frac{p}{q}+1]$
解得
$\\displaystyle \\frac{p}{q}=2-\\sqrt{3}$
或者
$\\displaystyle \\frac{p}{q}=2+\\sqrt{3}$

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