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标题: 再给个题吧...稍微变态一点的 [打印本页]

作者: 战巡 时间: 2009-5-27 13:09
标题: 再给个题吧...稍微变态一点的
已知 $\\displaystyle a_{n+1}=pna_n+qk^n,a_1=a$ (其中p,q,k都是已知数，而且都不为0)
求an通项
提示：不是初等表达式...不要往那些方面想...
此题专给高手做...高中生做不出来很正常...大学生做不出来也有可能...

作者: xjc03 时间: 2009-5-27 16:58
这个用不着高手做了
k*a(n+1)/k^(n+1)=pn*an/k^n+q;
令bn=an/k^n
b(n+1)=(p/k)n*bn+q/k=(p/k)*n((p/k)(n-1)*b(n-1)+q/k)+q/k=....
=a*n!*p^n/k^(n+1)+(q/k)*求和(p^i)*n!/k^i*(n-i)!
=a*n!*p^n/k^(n+1)+(q/k)*(-GAMMA(n+1)+exp(k/p)*GAMMA(n+1, k/p))*(p/k)^n

作者: 黄健辉 时间: 2009-5-28 10:33
这个用是不着高手:
a1=a
a2=pa+q^k
a3=p*2pa+2pq^k+q^(k^2)
a4=p*2p*3pa+2p*3pq^k+3pq^(k^2)+q^(k^3)
......
an+p*2p*3p*......(n-1)pa+2p*3p*......*(n-1)pq^k+......+(n-1)pq^(k^(n-1))+q^(k^(n-1))

作者: 黄健辉 时间: 2009-5-28 10:36
我可是用高中的方法做的

作者: 战巡 时间: 2009-5-28 18:45

这个用不着高手做了
k*a(n+1)/k^(n+1)=pn*an/k^n+q;
令bn=an/k^n
b(n+1)=(p/k)n*bn+q/k=(p/k)*n((p/k)(n-1)*b(n-1)+q/k)+q/k=....
=a*n!*p^n/k^(n+1)+(q/k)*求和(p^i)*n!/k^i*(n-i)!
=a*n!*p^n/k^(n+1)+(q/k)*( ...
xjc03 发表于 2009-5-27 16:58

嘿嘿，不错，有两下子~~
看来前人对这些东西都已经研究透了...都有现成的公式了.....
唉，我当初是不知道这些公式，只好耍耍诡计，另辟蹊径...
得到这样的结果...

QQ截图未命名.jpg (4.35 KB, 下载次数: 166)

作者: EMP震荡波 时间: 2009-6-26 18:19
3楼好像是猜想吧，没有证明？

作者: 元蛟 时间: 2009-7-13 14:48
这道题真的很简单

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