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标题: 求助一道不等式最值 [打印本页]

作者: xsy12345 时间: 2009-6-6 17:35
标题: 求助一道不等式最值
本帖最后由石崇的BOSS 于 2009-8-14 08:30 编辑

对于所有非负实数x,y,z，x+y+z≠0，求
f(x,y,z)=[xy(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])+yz(y[sup]2[/sup]+z[sup]2[/sup])+zx(z[sup]2[/sup]+x[sup]2[/sup])]/(x+y+z)[sup]4[/sup]的最大值

作者: 战巡 时间: 2009-6-8 16:03
本帖最后由战巡于 2009-6-8 19:32 编辑

这个题楼主自己出的么？？
设x=az,y=bz
带入得到
f(x,y,z)=[ab(a^2+b^2)+b(b^2+1)+a(a^2+1)]/(a+b+1)^4
并令它等于g(a,b)
可以算出g(a,b)在a>0,b>0时只有(1,1)一个极值，而且还是极小值
当b=ka,a趋于无穷时
g(a,b)=(k+k^3)/(1+k)^4
可以算出当k=1时它有最大值1/8
说明a>0,b>0时，g(a,b)<1/8
这是区域内的情况
然后进行边界判断
a=0时
g(0,b)=b(1+b^2)/(1+b)^4
最大为b=1时g(0,1)=1/8
b=0时同样解得
g(1,0)=1/8最大

作者: xjc03 时间: 2009-6-8 18:11
因为是关于Z的减函数
所以f(x,y,z)=[xy(x^2+y^2)+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2)]/(x+y+z)^4<=f(x,y,0)
f(x,y,0)=xy(x^2+y^2)/(x+y)^4<=1/2*1/4*(2xy+x^2+y^2)^2/(x+y)^4=1/8
当x=y z=0的时候取到

2楼的错误在于这样设"x=az,y=bz"就忽略了z=0 x,y不为0的情况

作者: 黄健辉 时间: 2009-6-8 18:48
太厉害啦

作者: 战巡 时间: 2009-6-8 19:26
本帖最后由战巡于 2009-6-8 19:33 编辑