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标题: 一道难题！ [打印本页]

作者: 5601706 时间: 2009-6-25 22:32
标题: 一道难题！
正整数可以分为两个互不相交的正整数子集:
｛f(1),f(2),f(3)...f(n)...｝;｛g(1),g(2),g(3)...g(n)...｝
其中f(1)<f(2)<f(3)<...<f(n)<...
g(1)<g(2)<g(3)<...<g(n)<...
且 g(n)=f(f(n))+1 (n>=1)
求:f(240)

作者: 石崇的BOSS 时间: 2009-6-26 15:18
由题意知：f(n)和g(n)构成整个正整数数列，而g(1)=f[f(1)]+1，即g(1)>f(1)
故g(n)>f(n)
则f(1)=1,g(1)=f[f(1)]+1=f(1)+1=2,
而g(2)=f[f(2)]+1,故由f(1)<f(2)<f(3)<...<f(n)<...
g(1)<g(2)<g(3)<...<g(n)<...
得出f(2)=3,g(2)=f[f(2)]+1=f(3)+1,故f(3)=4,g(2)=5,
同理可得f(4)=6,g(3)=7,f(5)=8,f(6)=9,g(4)=10,f(7)=11,f(8)=12,g(5)=13……
下面把这些数列从小到大排列一下，得出如下：
f(1),g(1),f(2),f(3),g(2),f(4),g(3),f(5),f(6),g(4),f(7),f(8),g(5);
f(9),g(6),f(10),f(11),g(7),f(12),g(8),f(13),f(14),g(9),f(15),f(16),g(10);
……
从这个排列中的对应项可以看出在整个数列中是以13为一个大周期的周期数列，
其中f(n)是以8为周期，g(n)是以5为周期，
故f(240)在整个数列中排在第240/8=30排中的最后一个f(n),即为第30排的倒数第二个数，
即f(240)=13*30-1=389.

作者: 5601706 时间: 2009-6-27 17:48
实在太牛B了。我顶你！！谢谢！！

作者: 石崇的BOSS 时间: 2009-6-28 12:32
呵呵，不用谢，为大家解决困难是应该的

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