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标题: 听说要写两页草稿纸才能做出来的题 [打印本页]

作者: 石崇的BOSS 时间: 2009-7-1 22:03
标题: 听说要写两页草稿纸才能做出来的题
已知：实数a,b,满足a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]=ab+3,
求a[sup]2[/sup]+3b[sup]2[/sup]的值域.

作者: 战巡 时间: 2009-7-2 00:03
.........
试试新方法....
极坐标式换元——设a=pcos(x),b=psin(x)
$\\displaystyle a^2+b^2=ab+3$

$\\displaystyle p^2=p^2sin(x)cos(x)+3$

$\\displaystyle p^2=\\frac{6}{2-sin(2x)}$

$\\displaystyle a^2+3b^2=p^2+2p^2sin^2(x)=p^2(2-cos(2x))=6\\frac{2-cos(2x)}{2-sin(2x)}$

这个就好办了，后面那块就是点(2,2)到单位圆上点斜率的倒数
最后求得
$\\displaystyle 8-2\\sqrt{7}{\\le}a^2+3b^2{\\le}8+2\\sqrt{7}$

作者: 里亦维奇 时间: 2009-7-5 13:23
常规解法：
解关于b的二元一次方程a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]=ab+3，得b=[a±√(12-3a[sup]2[/sup])]/2
设k=a[sup]2[/sup]+3b[sup]2[/sup]
a[sup]2[/sup]+3b[sup]2[/sup]
=a[sup]2[/sup]+3{[a±√(12-3a[sup]2[/sup])]/2}[sup]2[/sup]
=a[sup]2[/sup]+3/4*[a[sup]2[/sup]±2a√(12-3a[sup]2[/sup])+12-3a[sup]2[/sup]]
=a[sup]2[/sup]+3/4*[-2a[sup]2[/sup]±2a√(12-3a[sup]2[/sup])+12]
=a[sup]2[/sup]-3/2*a[sup]2[/sup]±3/2√(12-3a[sup]2[/sup])+9
=-1/2*a[sup]2[/sup]±3/2√(12-3a[sup]2[/sup])+9=k
-a[sup]2[/sup]±3√(12-3a[sup]2[/sup])+18=2k
±3√(12-3a[sup]2[/sup])=a[sup]2[/sup]+2k-18
9a[sup]2[/sup](12-3a[sup]2[/sup])=a[sup]4[/sup]+2a[sup]2[/sup](2k-18)+4k[sup]2[/sup]-72k+324
-27a[sup]4[/sup]+108a[sup]2[/sup]=a[sup]4[/sup]+(4k-36)a[sup]2[/sup]+4k[sup]2[/sup]-72k+324
28a[sup]4[/sup]+(4k-108)a[sup]2[/sup]+4k[sup]2[/sup]-72k+324=0
7a[sup]4[/sup]+(k-36)a[sup]2[/sup]+k[sup]2[/sup]-18k+81=0
设x=a[sup]2[/sup]
则7x[sup]2[/sup]+(k-36)x+k[sup]2[/sup]-18k+81=0
∵△≥0
∴(k-36)[sup]2[/sup]-28(k[sup]2[/sup]-18k+81)≥0
k[sup]2[/sup]-72k+1296-28k[sup]2[/sup]+504k-2268≥0
-27k[sup]2[/sup]+432k-972≥0
-k[sup]2[/sup]+16k-36≥0
k[sup]2[/sup]-16k+36≤0
k[sup]2[/sup]-16k+64≤28
(k-8)[sup]2[/sup]≤28
|k-8|≤2√7
-2√7≤k-8≤2√7
8-2√7≤k≤8+2√7
又∵7x[sup]2[/sup]+(k-36)x+k[sup]2[/sup]-18k+81=0必须要有非负根才能使7a[sup]4[/sup]+(k-36)a[sup]2[/sup]+k[sup]2[/sup]-18k+81=0有实数解
∴36-k+√(-27k[sup]2[/sup]+432k-972)≥0
√(-27k[sup]2[/sup]+432k-972)≥k-36
不等式左边明显大于0，而根据上面求出的k的范围，不等式右边应小于0，所以此不等式在有意义的情况下恒成立
∴k的范围为8-2√7≤k≤8+2√7
即8-2√7≤a[sup]2[/sup]+3b[sup]2[/sup]≤8+2√7

作者: 里亦维奇 时间: 2009-7-5 13:58
还有这种方法也写不到2页草稿纸

作者: 5601706 时间: 2009-7-5 17:27
顶！顶顶！！

作者: xz5024 时间: 2009-7-28 11:08
顶啊~~~~

作者: xcd372861108 时间: 2009-8-12 15:30
可以用三角带换
设 a^2+3b^2=t^2
所以 a=tsink,b=t√3/3cosk
所以方程为t^2sin^2k+t^2cos^k/3=t^2sinkcosk√3/3+3
转为三角来解

作者: qtstc 时间: 2009-8-12 18:59
常规方法没用到什么深奥的知识,但要我的话八成看到化出了四次方就要放弃了..

作者: 5601706 时间: 2009-8-12 19:19
我也来踩下吧..!!顶上.

作者: yefan852 时间: 2009-8-12 20:53
强悍！！！

作者: kuing 时间: 2009-8-13 16:17
汗，显然标题党

作者: 529998060 时间: 2009-9-10 15:02
:

:yw

作者: appletree444 时间: 2009-9-10 15:08
支持一下，呵呵。

作者: 公民龚 时间: 2010-5-9 22:10
学习了，呵呵

作者: y_mT 时间: 2010-5-29 19:14
很厉害...

作者: huil 时间: 2010-8-12 02:28
看四楼的解法

作者: kezhulu 时间: 2010-8-12 09:52
好好研究一下...不等式很難的

作者: 风之天炼 时间: 2010-8-12 21:23
如果是我来做应该会用三角换元不过也够麻烦的了

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