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标题: 每日一题11 [打印本页]

作者: jyc06 时间: 2009-8-17 21:23
标题: 每日一题11

作者: arsljy 时间: 2009-8-17 21:29
我是路过来打酱油的 -.-

作者: jyc06 时间: 2009-8-17 22:10
顶上

作者: arsljy 时间: 2009-8-17 23:42
改你妹名字 -.-

作者: 战巡 时间: 2009-8-18 00:54
..............
楼上很有聊.......

结论：n≠p^k 其中p为质数，k为正整数
证明：
M[n-1]=M[n]，意味着n|M[n-1]，只要n=p*q (p,q都是1到n-1中的整数，且p、q互质)，就可以满足条件
为什么？
情况(1)——n不能分解为p*q的形式
这意味着n只能分解为1*n，即n为质数，这时n和任何除1、n以外的数互质，自然也和M[n-1]互质，要想n|M[n-1]？——肯定没戏

情况(2)——n可以分解为p*q的形式，但所有可能的数对(p,q)中的p、q都不互质
那么p,q必然存在公约数r，且r≠1，那么当p为质数时，q=k*p
这时令p[1]=p^2,q[1]=k，仍然有p[1]q[1]=n，此时按照假设，仍然有p[1],q[1]有不为1的公约数
由于p是质数，k和p^2有不为1的公约数，就意味着p|k，q[1]=k=q[2]p
这样再令p[2]=p^3，又有p^3和q[2]有不为1的公约数
......反复如此，直到q[m]=1(m为正整数)，此时已经不再满足假设，因此作罢
这样却得到q[m-1]=p，n=p[m-1]q[m-1]=p^m*p=p^(m+1)，而在M[n-1]中，由于n-1<n=p^(m+1)，因此M[n-1]的因数中顶多只有p^m，而不可能有p^(m+1)，因此n|M[n-1]不可能......

其他情况为什么就可以呢？
当n=p*q (p,q互质)时，由于1<p<n-1，1<q<n-1，因此p|M[n-1]，且q|M[n-1]，加上p,q互质可知pq|M[n-1]，因此n|M[n-1]

综上所述，将(1)、(2)两种情况合并，得到此时n≠p^k (p为质数，k为正整数)

作者: arsljy 时间: 2009-8-18 01:04
顶答案男-.-

作者: appletree444 时间: 2009-8-18 08:52
挺有意思的一道题，呵呵。

作者: 巫师无视 时间: 2009-8-19 00:21
5楼的证明貌似麻烦了。。。。。。。。。。
设n=p1^q1*P2^q2*...pk^qk 若k>1 则pi^qi<n 且pi^qi不等于pj^qj
故有 M(n-1)=Mn 当k=1 易知不相等

作者: 元蛟 时间: 2009-8-19 07:28
只要n是合数不就行吗

作者: 元蛟 时间: 2009-8-19 07:44
因为它一定是前面某些数的最小公倍数

作者: 巫师无视 时间: 2009-8-19 13:07
楼上再想想吧

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