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标题: 总共可以圈出多少个正方形 [打印本页]

作者: appletree444 时间: 2009-8-27 18:54
标题: 总共可以圈出多少个正方形
这里给出我以前研究过的一个小题目，对高手们来说难度不大，也许对一些初学的数学爱好者有点研究的价值吧。这里纯粹给大家调剂调剂，呵呵。
10*10个钉子排成正方形的阵钉在墙上，现在有无数条橡皮筋，要求我们用一条橡皮筋圈出一个正方形，问：一共可以圈出多少个正方形？对于n*n个点来说又可以圈出多少个正方形？

如果您解出了上面一个问题，那么，如果1/2*n(n+1)个钉子排成正三角形阵列，要求圈出所有的正三角形，总共可以圈出多少个正三角形？

3*n^2-3*n+1个点排成正六边形阵列，要求圈出所有的正六边形，总共可以圈出多少个？

作者: 高斯门徒 时间: 2009-8-28 10:00
1）边长为1的有（n-1)^2
   边长为2的有(n-2)^2
   边长为3的有(n-3)^2
   .........
即围出的正方形是(n-1)^2+(n-2)^2+(n-3)^2+.....+1=(1/6)(n-1)n(2n-1)
2)圈出正三角形也是(1/6)(n-1)n(2n-1)
3)图不太会画

作者: appletree444 时间: 2009-8-28 10:11
请注意，围成的正方形的边不一定是与钉子的正方形阵列的边平行，也就是说正方形可以是斜的。同理，三角形和六边形也是如此。举例如图，ABCD也是其中一个正方形。

正方形.GIF (4.1 KB, 下载次数: 207)

作者: appletree444 时间: 2009-8-28 10:23
对于所谓的六边形阵列，我之前没描述清楚。就以n=3为例。如图：

六边形阵列.GIF (2.96 KB, 下载次数: 215)

作者: appletree444 时间: 2009-8-29 18:25
其实这道题需要把所有的正方形进行恰当的分类，然后把这道题转换为求数列和的问题，呵呵。

作者: appletree444 时间: 2009-8-31 21:27
估计论坛这阵子会安静许多，快开学了。

作者: appletree444 时间: 2009-9-8 09:41
这么长时间无人问津，我只好自己解答了。如图，先把所有的正方形这样分类：所有的正方形的四个点一定在平行于X、Y轴的直线上，而且这些平行于X、Y轴的直线直线共同构成了一个边都是平行于X、Y轴的正方形框。如果这个正方形框的边有n个点的话，易知此框共有(n-1)个正方形，这(n-1)个正方形就是一类，而且这(n-1)个正方形只属于这个正方形框，不会属于另一个正方形框（这样就可以做到不重不漏）。现在的问题是这些框总共有多少个、多少种。对于n*n的正方形阵来说，2*2的框共有(n-1)*(n-1)个，3*3的框共有(n-2)*(n-2)个，……以此类推。
所以总共的正方形数计算公式为(n-1)*(n-1)*1+(n-2)*(n-2)*2+(n-3)*(n-3)*3+……+1*1*(n-1)
=n[(n-1)^2+(n-2)^2+(n-3)^2+……+1^2]-[(n-1)^3+(n-2)^3+(n-3)^3+……+1^3]
=n*(1/6)*n*(n-1)*(2*n-1)-(1/4)*n^2*(n-1)^2
=(1/12)*n^2*(n^2-1)

至于三角形阵和六边形阵，道理类似，为免累赘，这里就不一一详述了，呵呵。

作者: appletree444 时间: 2009-9-8 09:46
忘了附图，其实图只是示意一下而已，呵呵。

示意.GIF (7.91 KB, 下载次数: 199)

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