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标题: 求证两个式不能同时为完全平方数 [打印本页]

作者: qtstc 时间: 2009-9-10 16:03
标题: 求证两个式不能同时为完全平方数
x，y都是自然数，求证：x[sup]2[/sup]+y+1和y[sup]2[/sup]＋4x＋3的值不能同时是完全平方数．

拜托了.

作者: appletree444 时间: 2009-9-10 22:03
我的想法是这样的：假设x^2+y+1是完全平方数，只需证明y^2+4*x+3不可能是完全平方数即可。
不妨设x^2+y+1=x^2+2*a*x+a^2，其中a是自然数。即y+1=2*a*x+a^2，y=2*a*x+a^2-1。把它代入y^2+4*x+3中得4*a^2*x^2+4*(a^3-a+1)*x+(a^4-2*a^2+4)，如果这个式子是完全平方数的话那么x的一次项可分解为2*(2*a*x)*[(a^3-a+1)/(a)]，必须使得(a^3-a+1)/(a)是自然数n>0。即(a^3-a+1)/(a)=n。故而a^3-(n+1)*a+1=0关于a有整数解，即a*(a+1)*(a-1)-(n*a-1)=0关于a有整数解，那么n只能为1，故有(a^2+a-1)*(a-1)=0。故a=1。此时y=2*x，y^2+4*x+3=4*x^2+4*x+3=(2*x+1)^2+2，显然不是完全平方数。故而两式子的值不能同时为完全平方数。

作者: qtstc 时间: 2009-9-10 23:18
太乱了...晚上精神不好,明天早上再来看,
总之先谢谢LS

作者: appletree444 时间: 2009-9-11 09:40
不好意思，我觉得昨天我的思路貌似有问题。我再想想吧。

作者: qtstc 时间: 2009-9-12 22:47
本帖最后由 qtstc 于 2009-9-17 21:56 编辑

下面是小爱给出的解法,很巧妙的,大家看看吧
我也来学BOSS,嘿嘿- -.....

作者: 高斯门徒 时间: 2009-9-17 13:48
5# qtstc
是CJ的小男生？

作者: 石崇的BOSS 时间: 2009-9-17 21:57

5# qtstc
是CJ的小男生？
474394820 发表于 2009-9-17 13:48

CJ是什么意思？

作者: 高斯门徒 时间: 2009-9-17 22:08
7# 石崇的BOSS
是纯洁

作者: xz5024 时间: 2009-9-23 20:27
..........

作者: 5601706 时间: 2009-10-5 13:22
:db

作者: whq701 时间: 2010-8-8 09:29
:shuai:shuai

作者: jyc06 时间: 2010-8-8 22:01
?

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