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标题: 新开版块新题目 [打印本页]

作者: 里亦维奇 时间: 2010-1-18 12:49
标题: 新开版块新题目
已知a,b为正整数，且ab+1|a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]，求证ab+1|a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup]=(a,b)[sup]2[/sup],(a,b)表示a,b的最大公约数

作者: 秘密时空 时间: 2010-1-18 14:15
本帖最后由石崇的BOSS 于 2010-1-18 16:02 编辑

设(a,b)=k,a=ck,b=dk,(c,d)=1
m[sup]2[/sup]ab+m[sup]2[/sup]=a[sup]2[/sup]+b[sup]2[/sup],m属于正整数
代入,k[sup]2[/sup]cd+1=(c[sup]2[/sup]+d[sup]2[/sup])/m[sup]2[/sup]
m[sup]2[/sup]cd+m[sup]2[/sup]/k[sup]2[/sup]=c[sup]2[/sup]+d[sup]2[/sup]
因为左右都是整数,所以 m=nk,n属于正整数
代入,k[sup]2[/sup]cd+1=(c[sup]2[/sup]+d[sup]2[/sup])/n[sup]2[/sup]=(c/n)[sup]2[/sup]+(d/n)[sup]2[/sup]
若n>1,则存在更小的数c/n和d/n
这一过程无穷,矛盾
因为n为正整数,所以n=1,得证

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