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标题: 两个关于三角形的不等式 [打印本页]

作者: xz5024 时间: 2010-2-11 17:22
标题: 两个关于三角形的不等式
(1)s<=2R+(3sqrt3-4)r (Bludon不等式)(2)16Rr-5r^2<=s^2<=4R^2+4Rr+3r^2 (Gerretsen不等式)
望得到这两个不等式的证明过程

作者: kuing 时间: 2010-2-11 19:15
(2)式左边代数化后与Schur不等式（三次的）等价，右边可用几何法。
(2)式右边强于(1)式。

作者: xz5024 时间: 2010-2-11 19:17
多谢伟大的KUING赐教

作者: xz5024 时间: 2010-2-11 19:39
所谓几何方法是什么详细点

作者: xz5024 时间: 2010-2-11 19:59
设O，H，I，G分别为三角形的外心、垂心、内心、重心。在△OHI中，可求得
OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2),
OI^2=R^2-2rR,
IH^2=2r^2-4R^2cosAcosBcosC.
但4R^2cosAcosBcosC=1/4*(a^2+b^2+c^2)-(2R+r)^2.
因此，IH^2=3r^2+4rR+4R^2-1/4*(a+b+c)^2,
即得：(a+b+c)^2≤4(3r^2+4rR+4R^2).

作者: kuing 时间: 2010-2-11 21:08
yeah，这几个心距都很有用哩

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