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标题: 一个游戏引出的一个数学问题 [打印本页]

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-2-15 10:38
标题: 一个游戏引出的一个数学问题
甲乙两人玩一个游戏，规则如下：他们分别同时派出A,B,C三支小分队，人数总计100人(每支小分队人数最少为0，最多为100)，若其中一个派出的两支小分队的人数均比另一人的两支小分队人数多，则获胜，问：甲为了使自己的胜率更大，他应该拿出什么样的方案？
例：甲50，50，0 乙10，60，30 则乙获胜
甲33，33，34 乙30，30，40 则甲获胜
题目关键是方案是同时拿出的？怎么解决？

作者: appletree444 时间: 2010-2-16 19:52
本帖最后由石崇的BOSS 于 2010-2-17 15:23 编辑

设甲方案为(a,b,c)，a、b、c为非负整数。则下列三种情况都是甲胜：AB胜、BC胜、CA胜。即甲能胜的情况总数是ab+bc+ca，注意到a+b+c=100，则ab+bc+ca≤10000/3，取最接近的整数组(33,33,34)可得最大值3333。总的情况数是5151，那么甲采取这种方案的胜率是3333/5151=11/17。不知对否？
以上分析是建立在乙均衡随机的基础上的。本来题目分析到这应该就可以了吧。突发奇想，若乙也知道甲这么分析，那么甲乙出的方案都相同或相似（34的位置不同），那么甲乙永远打和，甲的胜率就变为0了。如果乙这么聪明的话，甲又能出什么方案保证他自己的胜率最大呢？

作者: 战巡 时间: 2010-2-16 20:25
boss不会是在玩荣光医院吧.....

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-2-17 15:22
3# 战巡
YES，我玩荣光医院很久了……

作者: 元蛟 时间: 2010-2-17 17:15
荣光医院是什么回事？

作者: appletree444 时间: 2010-2-17 21:19
百度搜了一下，貌似是个游戏。

作者: appletree444 时间: 2010-2-17 21:29
记得楼主也在魔方吧里面发过。

作者: 元蛟 时间: 2010-2-18 08:28
很难理解

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-2-18 09:41
7# appletree444
哇，你也在魔方吧论坛注册过？那里面高手多惨了……

作者: appletree444 时间: 2010-2-18 16:55
呵呵，才注册不久，请多指教。

作者: appletree444 时间: 2010-2-19 17:10
今天又想一下，如果甲的对手不是电脑（电脑随机出方案），而是人的话，至少有三种方案不会出，比如（0，0，100）和（0，100，0），还有（100，0，0）。因为这三种情况都是百分百赢不了的。

作者: 战巡 时间: 2010-2-20 01:48
注：荣光医院没有电脑....统统是人和人P，要知道，对手也不是傻瓜，人家也会想使自己获胜概率大的方案，所以这个当双方智力水平相当时，就是纯拼RP....

作者: appletree444 时间: 2010-2-20 20:24
有道理，我在想问题不在于提出一个确定的方案，而是一个按概率出方案的策略。我们应该制定我们可以出的一些方案（或者选所有有胜率的方案），在我们的策略里，这些方案中的某一个都有个概率会被我们选中去和对手PK。如果真的可以选出这些方案和它们各自的出现概率，那么即使对手和我们想的差不多，那么我们也有一定的概率会赢（不致于一点都赢不了），不过胜的概率毕竟超不过50%，因为还有和的概率存在。
而且如果我们和对手的策略一样，这样我们的胜率就和败率一样，那么我们就要尽量减少和的概率，这样才能使胜率最大。

以上的方案是建立在最优策略存在的基础上的，要是不存在最优策略，同时存在几个同样好的策略（不知道这样可不可能），或者说存在策略甲、乙、丙，甲策略克乙，乙策略克丙，而丙策略克甲之类的情况。

要是这样就难分析了，是不是应该制定一个按概率出方案的策略，使得它对所有其它所有的策略（包括它本省）的胜率期望最大，或者胜率方差最小？

感觉越说越复杂了，还可能对于胜率最大这个条件每个人会有不同理解。唉，还是期待有高手用数学建模来解决吧。

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