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标题: 2009联赛一试那道不等式 [打印本页]

作者: zhangyuong    时间: 2010-5-2 14:42
标题: 2009联赛一试那道不等式


这就是鼎鼎大名的一试那道不等式
让我非常纠结。。。
当年场上不知道怎么完全失去水平,没有一题能够做出来
今天无意中看见类似字眼
让我重新面对这一年前的阴影
如果我一年前有我今天的冷静
恐怕要好做很多

现在我就来简单地说说这个题目的解法
作者: zhangyuong    时间: 2010-5-2 15:12
显然最小值是没有什么难度的了

我就直接来说最让人注目的最大值

其实观察这个不等式的形式,第一感觉就是Cauchy,因此
我们的目标就是利用Cauchy求最小值
但是有个很大的问题,最小值要满足两个条件:
(i)不等号方向是>=
(ii)等号要确实取到

这样,问题的困难之处便在于,如何选取Cauchy不等式中的系数,使得等号能够取到呢?
在这个情况下,我们的数学思维就是——计算出系数

因此写出了Cauchy不等式,为了计算简便,我只选取了2个元
其中要满足
只有这样,才能够保证左边都是常数,从而得到最值
但是要解出三个元不容易
有两个方法
第一个就是硬解系数

这样得到一个四次方程
从正常的角度来说,我们做这题的方法就是这样
但在联赛那么紧的时间之内,谁也很难有把握把这个四次方程解出来
所以我们需要另外寻找方法
考虑到开始的性质,这个系数应该是比较整齐的
取等号时x的值应该也是比较漂亮的
再次回到最开始等号条件:

考虑将最左边和最右边的条件放一起:

我们现在考虑定义域,看能不能给出一些约束:
x-13>=0,x>=0即0<=x<=13,这个定义域两头都是整数
我们很合理地会想到,这个取等号时候x的值,也应该是整数
所以,这个时候就转化成了数论问题
右边的式子和左边的式子比较
左边是3的幂,因此右边必是3的幂
有两种突破,第1:右边被x整除,所以x=3或9
代入检验可以得到x=9
第2:右边被α^2-1整除,左边也是
因此α^2-1=3或9或27,代入检验得到α=2
由此就得到了我们需要的系数
作者: castelu    时间: 2010-5-2 15:14
感谢您的分享
作者: PaulErdos    时间: 2010-5-2 15:38
这题我也看过,当时我还不会cauchy不等式(。。忽略)
不过我后来看的时候就知道,其实对于在考场而言,我们完全可以先猜测答案,等号在x=9时取到
那么我们不就证明了存在x使得这个不等式成立了吗,不必要严格地解方程。
当然了,zy的方法非常好。顶
作者: 秘密时空    时间: 2010-5-2 17:48
学习了
作者: 秘密时空    时间: 2010-5-2 18:01
X取9时成立,可以在草稿纸上用求导来算
作者: PaulErdos    时间: 2010-5-2 18:28
呵呵,我不会用cauchy不等式的时候就是求导的
作者: jyc06    时间: 2010-5-2 19:32
...当时一个学长得到那个4次方程,直接找出了根
作者: y_mT    时间: 2010-5-3 18:51
厉害...
作者: jyc06    时间: 2010-7-25 23:06
这题漏题了




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