数学之家

标题: 不等式竞赛题一道 [打印本页]

作者: PaulErdos 时间: 2010-5-2 14:44
标题: 不等式竞赛题一道
设a,b,c＞0，且a+b+c=2S
求证：对任意正整数n，有

成立，其中

表示循环和。

作者: 蒋总裁 时间: 2010-5-9 22:06
切比雪夫不等式或者Holder不等式都行
切比雪夫不妨设a>=b>=c a^(n-1)>=b^(n-1)>=c^(n-1) 1/(b+c)>=1/(a+c)>=1/(a+b)
LHS>=1/3(a+b+c)(a^(n-1)/(b+c)+b^(n-1)/(c+a)+c^(n-1)/(a+b)>=1/3(a+b+c)*1/3(a+b+c)(a^(n-2)/(b+c)+b^(n-2)/(a+c)+c^(n-2)/(a+b))>=……>=(2/3S)^(n-1)(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))
因为a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=3/2是熟知的
LHS>=(2/3)^(n-2)S^(n-1)

作者: 蒋总裁 时间: 2010-5-9 22:10
Holder不等式
LHS*((b+c)+(c+a)+(a+b))*(1+1+1)^(n-2)>=(a+b+c)^n
LHS>=(2/3)^(n-2)S^(n-1)

作者: PaulErdos 时间: 2010-5-10 22:26
敢问LHS是原式的意思吗？

作者: 蒋总裁 时间: 2010-5-10 22:28
是的，难得写了，拿个字母表示！

作者: kuing 时间: 2010-5-10 23:47
LHS是原式左边的意思。。。相应地，RHS表示右边

欢迎光临数学之家 (http://www.2math.cn/)