数学之家

标题: 抽象函数小题 [打印本页]

作者: zyzme 时间: 2010-11-3 13:41
标题: 抽象函数小题
本帖最后由 zyzme 于 2014-4-12 22:04 编辑

定义在R上的函数f(x),对任意的a,b∈R都满足f(af(b))=ab.求f(2010)的值

[groupid=238]高中数学兴趣小组[/groupid]

作者: jankingyu 时间: 2010-11-3 20:00
2010不难吧

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-11-3 22:29
令a=0⇒f(0)=0
令a=-a⇒f(-af(b))=-ab=-f(af(b))
令af(b)=x⇒f(-x)=-f(x)
故f(x)为定义域上的奇函数，
令a=f(1)，b=1⇒f(f[sup]2[/sup](1))=f(1)⇒f[sup]2[/sup](1)=1
故f(1)=±1，
令a=b=1⇒f(f(1))=1……①
令a=1/b⇒f(f(b)/b)=1……②
由①②得出f(f(1))=f(f(b)/b)⇒f(b)=bf(1)
令b=2010⇒f(2010)=2010f(1)=±2010.

作者: jankingyu 时间: 2010-11-4 14:29
f(x)为定义域上的奇函数和故f(1)=±1。是否矛盾？？？？

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-11-4 15:32
4# jankingyu
f(1)=±1是两种情况的时候

作者: zyzme 时间: 2010-11-5 07:18
3# 石崇的BOSS

令a=0⇒f(0)=0
令a=-a⇒f(-af(b))=-ab=-f(af(b))
令af(b)=x⇒f(-x)=-f(x)
故f(x)为定义域上的奇函数，
令a=f(1)，b=1⇒f(f[sup]2[/sup](1))=f(1)⇒f[sup]2[/sup](1)=1 这一步似乎不妥吧？没说函数单调啊？
故f(1)=±1，
令a=b=1⇒f(f(1))=1……①
令a=1/b⇒f(f(b)/b)=1……②
由①②得出f(f(1))=f(f(b)/b)⇒f(b)=bf(1) 这个好像也要用单调性？
令b=2010⇒f(2010)=2010f(1)=±2010.

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-11-5 09:15
6# zyzme
首先知f(0)=0，
当a>b>0时，
若f(x)>0，则f(af(b))=ab>b[sup]2[/sup]=f(bf(b))
又af(b)>bf(b)，故此时f(x)为增函数；
若f(x)<0，则f(x)为减函数；
∵题目中要求f(2010)的值，故只需考虑定义域为正的情况
即f(x)在(0,+∞)上为单调函数

作者: jankingyu 时间: 2010-11-5 13:51
f(x)为定义域上的奇函数、f(x)为增函数、f(x)为减函数？？？？是什么函数？

作者: jankingyu 时间: 2010-11-5 16:11
我想应该了解下函数的定义。函数概念？还有重要的是对应法则。

作者: 石崇的BOSS 时间: 2010-11-5 18:23
奇函数是肯定的，f(x)在(0,+∞)上是增函数或减函数是分两种情况的

作者: zyzme 时间: 2010-11-5 22:24
7# 石崇的BOSS

恩说明了单调就可以

欢迎光临数学之家 (http://www.2math.cn/)