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标题: 二次曲线的一个完美结论 [打印本页]

作者: zyzme 时间: 2011-2-22 22:37
标题: 二次曲线的一个完美结论
本帖最后由 zyzme 于 2011-2-23 15:46 编辑

已知圆E[sub]1[/sub]，椭圆E[sub]2[/sub]，双曲线E[sub]3[/sub]，抛物线E[sub]4[/sub]，记曲线E={E[sub]1[/sub]，E[sub]2[/sub]，E[sub]3[/sub]，E[sub]4[/sub]}，设M是定直线L上任意一点。
若过点M可以做E的两条切线，记切点为A，B。证明：直线AB必过定点P。

注：【1】无论E与L是否相交，结论都成立。
   【2】过点M可能做不出E的两条切线。
   【3】可求出P的坐标。
   【4】这个结论在抛物线里有一点点瑕疵，不知道能不能完善。

作者: zyzme 时间: 2011-2-23 16:03
本帖最后由 zyzme 于 2011-2-23 18:13 编辑

附图：仅供参考。
对于E[sub]1[/sub]：

对于E[sub]2[/sub]：

对于E[sub]3[/sub]：

对于E[sub]4[/sub]：

作者: 高斯门徒 时间: 2011-2-24 09:44
本帖最后由高斯门徒于 2011-2-24 09:56 编辑

引理：圆锥曲线极点和极线的定义已知圆锥曲线C:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(A2+C2≠0),则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线.
定理：若过极线l上一点Q可作C的两条切线，M、N为切点，则直线MN必过极点P。
回到题目中，设定直线方程为ax+bx+c=0.，圆锥曲线方程为Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0(A2+C2≠0)。即Ax0+D=a，Cy0+E=b；解得x0=（a-D）/A，y0=（b-E）/C
发现A或者C等于0时，就是抛物线了；这点瑕疵难免的

作者: zyzme 时间: 2011-2-24 12:28
看你写的也有道理，不过和我的不一样。

作者: zyzme 时间: 2011-2-24 15:33
有空我把结论写一下

作者: 十字架的悲伤 时间: 2011-3-6 13:11
{:3_78:}{:3_78:}还真在研究二次曲线= =

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