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标题: 已知整数a，b满足；a-b是素数且ab是完平方数全。当a≥2012时a的最小值 [打印本页]

作者: 数学的朋友 时间: 2012-3-29 23:06
标题: 已知整数a，b满足；a-b是素数且ab是完平方数全。当a≥2012时a的最小值
已知整数a，b满足；a-b是素数且ab是完平方数全。当a≥2012时a的最小值

作者: 南山菊 时间: 2012-4-4 18:58
设a、b的最大公约数为m，且a＝ms，b＝mt
由a－b＝m(s－t)是质数可知：m为质数且s－t＝1；或m＝1且s－t是质数
若m为质数且s－t＝1，可见，s、t是相邻两个正整数，而ab＝m^2st是完全平方数矛盾
于是可知m＝1，即a、b互质，又ab是完全平方数，从而a、b均是完全平方数，且互质
再令a＝c^2，b＝d^2，a－b＝c^2－d^2＝(c＋d)(c－d)是质数，从而c－d＝1且c＋d是质数.
又a＞2012，c的最小值是45，此时d＝44，满足所有条件，即a的最小值为45^2＝2025

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