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标题: 试题 [打印本页]

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 13:08
标题: 试题
1.设$F$是锐角$\Delta ABC$的费马点，记$l = FA + FB + FC$，其中$a$，$b$，$c$分别是三角形的三条边长。证明：

$l^2 \le ab + bc + ca$

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 13:11
2.给定三角形的外接圆半径$R$，一条边对应的高的长度$h$，以及内切圆半径$r$，解三角形。

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 13:12
3.$R$和$r$分别表示三角形的外接圆半径和内切圆半径。求证：

$\frac{R}{r} + \frac{r}{R} \ge \frac{5}{2}$

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 13:14
4.$r$和$A$分别表示三角形的内切圆半径和一内角，求证：

$r \le 2R\sin \frac{A}{2} (1-\sin \frac{A}{2})$

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 13:18
5.设$\alpha$,$\beta$,$\gamma$为$\Delta ABC$的三内角，且

$\frac{\sin \beta \cos \gamma}{\sin \alpha} = \frac{\sin \gamma \cos \alpha}{\sin \beta} = \frac{\sin \alpha \cos \beta}{\sin \gamma}$

求证：$\Delta ABC$是正三角形

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 13:23
6.在正方形$ABCD$的边$BC$，$CD$上各有一点$M$，$N$，满足$\angle MAN = 45^{\circ}$，求证：

$\frac{AM}{AN} = \sqrt {\frac{AB+BM}{AD+DN}}$

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 13:26
7.已知正方形$ABCD$，延长$BC$，$DC$分别至$M$，$N$，使$S_{\Delta CMN} = S_{正方形ABCD}$，试确定$\angle MAN$的度数

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 13:35
8.求所有由正整数组成的数列$\left\{a_n\right\}$，并满足：
(1)$a_n$有上界；即对任意$n \in N^+$,都有$a_n \le M$
(2)对任意$n \in N^+$,均有$a_{n+2} = \frac{a_{n+1} + a_n}{(a_n , a_{n+1})}$

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 13:41
本帖最后由 zhangyuong 于 2012-6-27 15:36 编辑

9.求证：
乘积

$(a^2 + b^2 +c^2 - bc - ca -ab)(x^2 +y^2 + z^2 - yz - xy -zx)$

也具有如下形式:

$A^2 + B^2 + C^2 - BC - CA - AB$

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 13:44
10. 求以下无限连分式的值：

$\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+ \cdots }}}}$

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 13:50
11.设$z$,$z'$为任意的两复数，记$u=\sqrt{zz'}$，求证：

$|z| + |z'| = |\frac{z+z'}{2} - u| + |\frac{z+z'}{2} + u|$

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 13:53
12.任意给定三空间向量$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$，求证：

$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = \vec b(\vec a \cdot \vec c) - \vec c(\vec a \cdot \vec b)$

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 13:57
13.若函数$f(x)$满足$f(x) = f(\pi - x)$，求证

$\sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\frac{2k+1}{4n}\pi) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\frac{4k+1}{4n}\pi)$

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 13:59
14.证明以下组合恒等式：

$\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k x^k (1-x)^{n-k} = 1$

以及

$\sum\limits_{k=0}^{n}(k - nx)^2 C_n^k x^k (1-x)^{n-k} = nx(1-x)$

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 14:01
15.$\Delta DEF$是由$\Delta ABC$的外角平分线所组成的$\Delta$，且$\Delta BCD$,$\Delta CAE$,$\Delta ABF$内切圆与$\Delta ABC$各边分别切于$X$,$Y$,$Z$.求证：$DX$,$EY$,$FZ$三线共点.

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 14:04
16.$\alpha, \beta \in R$，且满足$\cos \alpha \ne \cos \beta$，那么对所有的$n \ge 2$的自然数，都有

$|\frac{\cos n\beta \cos \alpha - \cos n\alpha \cos \beta}{\cos \beta - \cos \alpha}| < n^2 -1$

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 14:06
17.已知数列$\left\{a_n\right\}$是正项等差数列，且满足公差$d>0$，求证：

$\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_3}{a_4} \cdots \frac{a_{2n-1}}{a_{2n}} < \sqrt {\frac{a_1}{a_{2n+1}}}$

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 14:13
18.实数$x$满足$x^3=x+1$，那么有

$x^{3n}=a_n x + b_n + \frac{c_n}{x}$

且

$
\left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=a_n + b_n\\
b_{n+1}=a_n + b_n + c_n\\
c_{n+1}= a_n +c_n
\end{array} \right.
$

作者: zhangyuong 时间: 2012-6-27 14:16
19.设$\Phi_i$为从三角形的边$i$旋转边上对应中线所成的有向角，那么

$\sum \cos \Phi =0$

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