数学之家

标题: 数列 [打印本页]

作者: quantum 时间: 2014-7-26 00:12
标题: 数列
已知a(n+1)＝√(an^2-2an+2)-1
求满足a(2n)<c<a(2n+1),对于任意n属于正整数都成立的c
注:根号后面打括号的是根号下那个负一在根号外面o(≧ o ≦)o-_-|||

作者: Hsuan 时间: 2014-7-26 16:42
首项a1不用告诉吗？ c=0.25 先猜一个待会儿证明。

作者: Hsuan 时间: 2014-7-26 17:55
由于没有告诉首项，但我猜测首相为1。以下是分析和证明：

分析.jpg (16.76 KB, 下载次数: 168)

c.jpg (41.75 KB, 下载次数: 173)

作者: quantum 时间: 2014-7-26 20:02

Hsuan 发表于 2014-7-26 17:55
由于没有告诉首项，但我猜测首相为1。以下是分析和证明：

通过那个等式如何可以判断那个an与an+1趋于c，并且1-4c=0 这步怎么来的没看懂

作者: Hsuan 时间: 2014-7-26 21:33
本帖最后由 Hsuan 于 2014-7-26 21:35 编辑

你可以列出数列前几项，找找规律。
已知a2=0<0.25,若有a(2n)<0.25,则
${a}_{2n+2}^{2}+2{a}_{2n+2}={a}_{2n}^{2}+2{a}_{2n}+2-4\left(\sqrt{{a}_{2n}^{2}-2{a}_{2n}+2}-1+{a}_{2n} \right)>{a}_{2n}^{2}+2{a}_{2n}$
∴a(2n)递增，同理可知a(2n+1) 递减,但由题意a(2n)<c<a(2n+1),因此，随着n增大，a(2n)会无限接近c,但比c小；a(2n+1)也会无限接近c，但比c大。

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