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标题: 裴礼文一元积分学 393页练习4.4.4 解答 [打印本页]

作者: castelu 时间: 2016-4-17 23:59
标题: 裴礼文一元积分学 393页练习4.4.4 解答
练习4.4.4：

　　设$f(x)$在$[a,b]$上连续可微（$0<a<b$），$f(a)=f(b)=0$，$\int_a^b f^2(x)dx=1$。试证：
$$\int_a^b x^2f'^2(x)dx \ge \frac{1}{4}$$

解：
$$\begin{eqnarray*}
1&=&\left[\int_a^bf^2(x)dx\right]^2\\
&=&\left[-2\int_a^bxf'(x)f(x)dx\right]^2\\
&<&4\int_a^bf^2(x)dx\cdot\int_a^bx^2f'^2(x)dx\\
&=&4\int_a^bx^2f'^2(x)dx
\end{eqnarray*}$$

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