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标题: 定积分 [打印本页]

作者: castelu 时间: 2017-11-8 21:42
标题: 定积分
定义1　设闭区间$[a,b]$上有$n-1$个点，依次为
$$a=x_0<x_1<x_2< \cdots <x_{n-1}<x_n=b，$$
　　它们把$[a,b]$分成$n$个小区间$\Delta_i=[x_{i-1},x_i]$，$i=1,2,\cdots,n$。这些分点或这些闭子区间构成对$[a,b]$的一个分割，记为
$$T=\left\{x_0,x_1,\cdots,x_n \right\}或\left\{\Delta_1,\Delta_2,\cdots,\Delta_n \right\}。$$
　　小区间$\Delta_i$的长度为$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，并记
$$||T||=\max\limits_{1 \le i \le n}{\Delta x_i}，$$
　　称为分割$T$的模。

注　由于$\Delta x_i \le ||T||$，$i=1,2,\cdots,n$，因此$||T||$可用来反映$[a,b]$被分割的细密程度。另外，分割$T$一旦给出，$||T||$就随之而确定；但是，具有同一细度$||T||$的分割$T$却有无限多个。

定义2　设$f$是定义在$[a,b]$上的一个函数。对于$[a,b]$的一个分割$T={\Delta_1,\Delta_2,\cdots,\Delta_n}$，任取点$\xi_i \in \Delta_i$，$i=1,2,\cdots,n$，并作和式
$$\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i。$$
　　称此和式为函数$f$在$[a,b]$上的一个积分和，也称黎曼和。
　　显然，积分和既与分割$T$有关，又与所选取的点集$\xi_i$有关。

定义3　设$f$是定义在$[a,b]$上的一个函数，$J$是一个确定的实数。若对任给的正数$\epsilon$，总存在某一正数$\delta$，使得对$[a,b]$的任何分割$T$，以及在其上任意选取的点集${\xi_i}$，只要$||T||< \delta$，就有
$$|\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i-J|< \epsilon，$$
　　则称函数$f$在区间$[a,b]$上可积或黎曼可积；数$J$称为$f$在$[a,b]$上的定积分或黎曼积分，记作
$$J= \int_a^b f(x)dx。$$
　　其中，$f$称为被积函数，$x$称为积分变量，$[a,b]$称为积分区间，$a$、$b$分别称为这个定积分的下限和上限。
　　以上定义1至定义3是定积分抽象概念的完整叙述。下面是与定积分概念有关的几点补充注释。

注1　把定积分定义的$\epsilon - \delta$说法和函数极限的$\epsilon - \delta$说法相对照，便会发现两者有相似的陈述方式，因此我们也常用极限符号来表达定积分，即把它写作
$$J=\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i = \int_a^b f(x)dx。$$
　　然而，积分和的极限与函数的极限之间其实有着很大的区别：在函数极限$\lim\limits_{x \to a}f(x)$中，对每一个极限变量$x$来说，$f(x)$的值是唯一确定的；而对于积分和的极限而言，每一个$||T||$并不唯一对应积分和的一个值。这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多。

注2　可积性是函数的又一分析性质。连续函数是可积的。

注3（定积分的几何意义）　对于$[a,b]$上的连续函数$f$，当$f(x) \ge 0$，$x \in [a,b]$时，定积分的几何意义就是该曲边梯形的面积；当$f(x) \le 0$，$x \in [a,b]$时，这时$J=-\int_a^b [-f(x)]dx$是位于$x$轴下方的曲边梯形面积的相反数，不妨称之为“负面积”；对于一般非定号的$f(x)$而言，定积分$J$的值则是曲线$y=f(x)$在$x$轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和。

注4　定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数$f$和积分区间$[a,b]$有关，而与积分变量所用的符号无关，即
$$\int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(t)dt=\int_a^b f(\theta)d\theta=\cdots。$$

性质1　若$f$在$[a,b]$上可积，$k$为常数，则$kf$在$[a,b]$上也可积，且
$$\int_a^b kf(x)dx=k \int_a^b f(x)dx。$$

性质2　若$f$、$g$都在$[a,b]$上可积，则$f \pm g$在$[a,b]$上也可积，且
$$\int_a^b [f(x) \pm g(x)]dx=\int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx。$$
　性质1与性质2是定积分的线性性质，合起来即为
$$\int_a^b[\alpha f(x)+ \beta g(x)]dx=\alpha \int_a^b f(x)dx +\beta \int_a^b g(x)dx，其中\alpha、\beta为常数。$$

性质3　若$f$、$g$都在$[a,b]$上可积，则$f \cdot g$在$[a,b]$上也可积。

　　注意，在一般情况下$\int_a^b f(x)g(x)dx \ne \int_a^b f(x)dx \cdot \int_a^b g(x)dx$。

性质4　$f$在$[a,b]$上可积的充要条件是：任给$c \in (a,b)$，$f$在$[a,c]$与$[c,b]$上都可积。此时又有等式
$$\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+ \int_c^b f(x)dx。$$

　　性质4及其公式称为关于积分区间的可加性。当$f(x) \ge 0$时，上式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性。
　　按定积分的定义，记号$\int_a^b f(x)dx$只有当$a<b$时才有意义，而当$a=b$或$a>b$时本来是没有意义的。但为了运用上的方便，对它作如下规定：

规定1　当$a=b$时，令$\int_a^a f(x)dx=0$；

规定2　当$a>b$时，令$\int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx$。

　　有了这个规定之后，上式对于$a$、$b$、$c$的任何大小顺序都能成立。例如，当$a<b<c$时，只要$f$在$[a,c]$上可积，则有
$$\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx=(\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx)-\int_b^c f(x)dx=\int_a^b f(x)dx。$$

性质5　设$f$为$[a,b]$上的可积函数。若$f(x) \ge 0$，$x \in [a,b]$，则
$$\int_a^b f(x)dx \ge 0。$$

推论（积分不等式）　若$f$与$g$为$[a,b]$上的两个可积函数，且$f(x) \le g(x)$，$x \in [a,b]$，则有
$$\int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx。$$

性质6　若$f$在$[a,b]$上可积，则$|f|$在$[a,b]$上也可积，且
$$|\int_a^b f(x)dx| \le \int_a^b |f(x)|dx。$$

注意　这个性质的逆命题一般不成立。

注　即使$f$为一非负可积函数，只要它在某一点$x_0$处连续，且$f(x_0)>0$，则必有$\int_a^b f(x)dx>0$。

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