定理6 设$f(x,y)$在矩形区域$D=[a,b] \times [c,d]$上可积，且对每个$y \in [c,d]$，积分$\int_a^b f(x,y)dx$存在，则累次积分
$$\int_c^d dy \int_a^b f(x,y)dx$$
也存在，且
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\int_c^d dy \int_a^b f(x,y)dx。$$
对于一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行计算。
称平面点集
$$D=\left\{(x,y)|y_1(x) \le y \le y_2(x),a \le x \le b \right\}$$
为$x$型区域；称平面点集
$$D=\left\{(x,y)|x_1(y) \le x \le x_2(y),c \le y \le d \right\}$$
为$y$型区域。
这些区域的特点是当$D$为$x$型区域时，垂直于$x$轴的直线$x=x_0$（$a<x_0<b$）至多与区域$D$的边界交于两点；当$D$为$y$型区域时，直线$y=y_0$（$c<y_0<d$）至多与$D$的边界交于两点。
许多常见的区域都可以分解成有限个除边界外无公共内点的$x$型区域或$y$型区域。因而解决了$x$型区域或$y$型区域上二重积分的计算问题，那么一块区域上二重积分的计算问题也就得到了解决。
定理7 若$f(x,y)$在如
$$D=\left\{(x,y)|y_1(x) \le y \le y_2(x),a \le x \le b \right\}$$
所示的$x$型区域$D$上连续，其中$y_1(x)$，$y_2(x)$在$[a,b]$上连续，则
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)dy。$$
即二重积分可化为先对$y$，后对$x$的累次积分。
若$f(x,y)$在如
$$D=\left\{(x,y)|x_1(y) \le x \le x_2(y),c \le y \le d \right\}$$
所示的$y$型区域$D$上连续，其中$x_1(x)$，$x_2(x)$在$[c,d]$上连续，则
$$\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=\int_c^d dy \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y)dx。$$
即二重积分可化为先对$x$，后对$y$的累次积分。