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标题: 一般Stokes公式 [打印本页]

作者: castelu 时间: 2017-11-8 23:10
标题: 一般Stokes公式
　　一般地，在$n$维空间上基本$p$次微分形式是$p$（$\le n$）个基本一次微分形式的连乘外积，即
$$dx_{i_1} \wedge dx_{i_2} \wedge \cdots \wedge dx_{i_p}（i_1<i_2< \cdots <i_p），$$
如果依次外积的下标不是按上述顺序排列，则可按需要变更顺序并根据反交换律决定它的符号，若在$p$个基本一次微分形式中有两个相同则其值为零，　　　当$p>n$时，其连乘外积为零。
　　设$a_{i_1 \cdots i_p}$为$R^n$上的函数，则$n$维空间中$p$次微分形式为
$$w^p=\sum\limits_{i_1<i_2< \cdots <i_p}dx_{i_1} \wedge dx_{i_2} \wedge \cdots \wedge dx_{i_p}。$$
　　一般Stokes公式为
$$\int_S dw^k=\int_{\partial S} w^k，$$
　　这里$k$是小于$n$的正整数，$S$是$n$维空间中$k+1$维区域，$\partial S$是$S$的边界，是$n$维空间中$k$维区域。
　　设$S$是三维空间中的曲面，$L$是$S$的边界曲线，若三元函数$P$，$Q$，$R$在$S$（连同$L$）上连续，且有一阶连续偏导数，则一般Stokes公式可写成
$$\int_S dw^1=\int_L w^1。$$

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