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标题: 位置关系 [打印本页]

作者: castelu 时间: 2017-11-9 20:51
标题: 位置关系
　　给定两直线$l_i$：$\frac{x-x_i}{X_i}=\frac{y-y_i}{Y_i}=\frac{z-z_i}{Z_i}$，$M_i(x_i,y_i,z_i) \in l_i$，$v_i=(X_i,Y_i,Z_i)$为$l_i$（$i=1,2$）的方向向量。
　　我们有下列命题。

命题1
（1）当$v_1 \parallel v_2$时，
$1^{\circ}$$l_1 \parallel l_2$当且仅当$\vec {M_1M_2}$与$v_1$不共线；
$2^{\circ}$$l_1$，$l_2$重合当且仅当$\vec {M_1M_2} \parallel v_1$。
（2）当$v_1$，$v_2$不共线时，
$1^{\circ}$$l_1$与$l_2$交于一点当且仅当$(\vec {M_1M_2},v_1,v_2)=0$；
$2^{\circ}$$l_1$与$l_2$异面当且仅当$(\vec {M_1M_2},v_1,v_2) \ne 0$。

　　设直线$l$：$\frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y}=\frac{z-z_0}{Z}$，平面$\Pi$：$Ax+By+Cz+D=0$。易得下面的命题。

命题2
（1）$l$与$\Pi$交于一点当且仅当$AX+BY+CZ \ne 0$；
（2）当$AX+BY+CZ=0$时，$1^{\circ}$$l \subset \Pi$当且仅当$M(x_0,y_0,z_0) \in \Pi$；$2^{\circ}$$l \parallel \Pi$当且仅当$M(x_0,y_0,z_0) \notin \Pi$。

　　在仿射标架$\left\{O;e_1,e_2,e_3 \right\}$下，设两平面$\Pi_i$（$i=1,2$）的方程为
$$\Pi_i：A_ix+B_iy+C_iz+D_i=0（i=1,2）。$$

定理1
（1）$\Pi_1$与$\Pi_2$相交于一直线的充要条件是$A_1:B_1:C_1 \ne A_2:B_2:C_2$；
（2）$\Pi_1$与$\Pi_2$平行的充要条件是$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} \ne \frac{D_1}{D_2}$；
（3）$\Pi_1$与$\Pi_2$重合的充要条件是$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}$。

　　由于相交的两平面相交于一直线，因而直线方程可由两平面方程构成的方程组表示出来，即由形式
$$\left\{ \begin{array}{l}
A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\
A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{array} \right.$$
　　表示，上式称为直线$l$的一般方程。
　　直线的标准方程和一般方程之间可以互相转化。
　　空间中过同一直线$l$的一切平面的集合叫有轴平面束，$l$叫平面束的轴。空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫平行平面束。

定理2　设两平面$\Pi_i$：$A_ix+B_iy+C_iz+D_i=0$（$i=1,2$）交于一直线$l$，那么以$l$为轴的有轴平面束的方程为
$$\sum\limits_{i=1}^2 \lambda_i(A_ix+B_iy+C_iz+D_i)=0，$$
　　其中，$(\lambda_1,\lambda_2) \ne (0,0)$。

　　类似地有以下定理。

定理3　如果两个平行平面为$\Pi_i$：$A_ix+B_iy+C_iz+D_i=0$（$i=1,2$），则平行于$\Pi_1$（$\Pi_2$）的平行平面束的方程也有定理3的形式，其中$(\lambda_1,\lambda_2) \ne (0,0)$且满足$\lambda_1:\lambda_2 \ne -A_2:A_1=-B_2:B_1=-C_2:C_1$。

推论　平行于平面$\Pi$：$Ax+By+Cz+D=0$的平行平面束方程为
$$Ax+By+Cz+D+\lambda=0，$$
　　其中，$\lambda$为任意实数。

命题3　三个平面$\Pi_i$：$A_ix+B_iy+C_iz+D_i=0$（$i=1,2,3$）相交于一点的充要条件是
$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
A_1&A_2&A_3\\
B_1&B_2&B_3\\
C_1&C_2&C_3
\end{array}} \right| \ne 0。$$

　　从代数的角度看，三个平面交于一点等价于由其构成的线性方程组有唯一解。根据Cramer法则立即得到此命题。

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