非一致格子超几何方程与分数阶和差分 - 数学之家

本书研究非一致格子上复超几何方程及分数阶差和分, 以及它们之间的联系. 用一些新的广义 Euler 积分研究方法, 建立复超几何差分方程一个基本定理及解函数, 该定理不同于 Suslov 基本定理, 得到的解函数推广了著名的Askey-Wilson 正交多项式, 为一类特殊函数发展做出了贡献. 我们还建立了Nikiforov-Uvarov-Suslov 复超几何方程的伴随方程, 证明它仍然是超几何差分方程并求其解, 建立了非一致格子超几何差分广义 Rodrigues 公式等.

本书还通过利用广义幂函数, 以及运用推广的Cauchy积分公式等方法,首创性地给出非一致格子上分数阶差和分的一些基本定义和重要性质; 得到非一致格子上 Abel 方程的解, Euler Beta 公式的模拟, 非一致格子 Taylor公式、Leibniz 公式, 以及一类非一致格子中心分数阶超几何差分方程的解;深入探讨非一致格子上超几何方程的解与非一致格子上分数阶差和分之间的紧密联系、分数阶差和分与一些重要特殊函数、超几何函数之间的关系等.

与 Newton 和 Leibniz 创立微积分同时, 分数阶微积分也被提出, 近几十年来其理论及其应用发展迅速. 程金发教授长期对离散复差分方程、离散分数阶微积分开展深入研究, 他在离散分数阶微积分理论研究上可以说是独树一帜的. 早在十年之前, 在一致格子的情形下, 程金发教授就合理地给出一种分数阶和分与差分, 并由此出版过一本有关该领域的专著, 这是国内外第一本相关理论方面的专著, 因此引起了同行的广泛关注和浓厚兴趣, 为学科的推广与发展起到了积极作用.

该书作者如今在非一致格子超几何差分方程与非一致格子离散分数阶差和分理论研究方面, 做出了系统独到的创新工作. 内容涉及非一致格子上超几何差分方程新的基本解基本公式等, 以及在非一致格子上合理给出离散分数阶微积分基本概念、性质、基本定理等.

(1) 非一致格子上 Gauss 型超几何复差分方程问题. 它分别由美国科学院数学院士 Askey 和俄罗斯数学院士 Nikiforov 等所开拓, 是一类最具一般性的复超几何方程, 许多特殊函数和正交函数都来自于该方程, 美国、俄罗斯两大数学门派都取得的许多非凡的重要成果. 作者经过多年的酝酿积累和静心探索, 给出了关于非一致格子上复超几何方程的一个基本公式, 这是一个不同于前人的基础性结果, 利用它可以得到比著名的 Askey-Wilson 多项式更一般的特殊函数, 是对一类特殊函数的贡献.

(2) 非一致格子上复分数阶差分与和分基本问题, 属于最一般性分数阶差分问题. 目前国内外绝大多数研究者一般从事一致格子上的实分数阶差分方程研究,但非一致格子上的复差分方程研究难度更大更具挑战性, 更与国际前沿接轨. 在非一致格子上, 复分数阶和分以及差分又如何定义？这目前在国际上都是一个十分艰深的课题, 因为即使对正整数阶差分, Nikiforov 率先得到了这个基本公式, 都是一个非凡的成果. 作者已经能够合理给出一种非一致格子上分数阶和分以及差分合理的定义; 得到著名的 Euler Beta 公式以及 Cauchy Beta 复积分公式、Taylor公式和 Leibniz 公式在非一致格子上的模拟, 非一致格子上 Abel 方程、广义中心差分等一类方程的求解等结果.

(3) 书中还将非一致格子上的超几何差分方程与特殊函数、离散分数阶理论有机地联系在一起. 这些概念和公式、理论在国际上是属于独具创新性的, 为在非一致格子情形下研究复分数阶差分方程理论和离散分数阶微积分打开了一扇门.

总之, 该书在非一致格子情况下开展了复超几何差分方程、离散分数阶差和分的创新性研究, 相信将对该领域的新发展起到重要的推动作用. 该书适合数学、物理等研究工作者阅读参考, 同时也是一本相关领域研究生的阅读教材.

分数阶微积分的概念几乎与经典微积分同时起步, 这可以回溯到 Euler 和Leibniz 时期. 经过几代数学家的努力, 特别是近几十年来, 分数阶微积分已经取得了惊人的发展和广阔的应用, 有关分数阶微积分的著作层出不穷, 但是在一致格子 x(z) = z 和 x(z) = q^{z} ,z ∈ C 上关于离散分数阶微积分的思想, 仍然是最近才兴起的.

大约十年之前, 在一致格子上, 我们就给出了一种新的分数阶和分、分数阶差分, 这也是我们的一种首创, 并由此出版过一本有关该领域的专著, 当时这是国内外第一本相关理论方面的著作, 因此得到了同行的热情关注, 为该学科推广与发展起到了积极作用. 虽然关于一致格子 x(z) = z 和 x(z) = q^{z} 的离散分数阶微积分出现和建立相对较晚, 但是该领域目前已经做出了大量的工作, 且取得了很大的发展. 在最近十年的学术著作中, 程金发[1] 、C. Goodrich 和 A. Peterson [63]相继出版了两本有关离散分数阶方程理论、离散分数阶微积分的著作, 其中全面系统地介绍了离散分数阶微积分的基本定义和基本定理, 以及最新的参考资料. 有关 q-分数阶微积分方面的著作可参见 M. H. Annaby 和 Z. S. Mansour[21] .

但在非一致格子上, 如何建立合理的分数阶差分与和分, 它们与非一致格子的超几何差分方程、特殊函数之间有何重要关系, 这都是具有相当难度和极具挑战性的课题. 非一致格子复差分方程中, 尤以非一致格子上 Gauss 型超几何复差分方程最为著名. 它分别由美国科学院院士 Askey 和俄罗斯科学院院士 Nikiforov等所开拓, 是一类最具一般性的复超几何方程, 许多特殊函数和正交函数都来自于该方程, 美俄两大数学门派都取得了许多非凡的重要成果. 如今我们经过几年的酝酿积累和静心探索, 给出了关于非一致格子上复超几何方程的一个基本公式,这是一个不同于前人的基础性结果, 利用它可以得到比著名 Askey-Wilson 多项式更一般的特殊函数.

非一致格子上复分数阶差分与和分基本问题, 属于最一般性分数阶差分问题.目前国内外绝大多数研究者一般从事一致格子上的实分数阶差分方程研究, 但我们认为非一致格子上的复差分方程研究难度更大更具挑战性, 更与国际前沿接轨.例如: 在非一致格子上, 复分数阶和分以及差分如何定义？这目前在国际上都是一个十分艰深的课题, 因为即使对正整数阶差分, Nikiforov 率先得到了这个基本公式, 都是一个非凡的成果.

对于非一致格子上超几何差分方程, 在特定条件下存在关于 x(s) 多项式形式的解, 如果用 Rodrigues 公式表示的话, 它含有整数阶高阶差商. 一个新的问题是:若该特定条件不满足, 那么非一致格子上超几何差分方程的解就不存在关于 x(s)的多项式形式, 这样高阶整数阶差商就不再起作用了. 此时非一致格子上超几何方程的解的表达形式是什么呢？这就需要我们引入一种非一致格子上分数阶差商的新概念和新理论.

因此, 关于非一致格子上 α 阶分数阶差分及 α 阶分数阶和分的定义是一个十分有趣和重要的问题. 显而易见, 它们肯定是比整数高阶差商更为难以处理的困难问题,自专著 [89,90] 出版以来, Nikiforov 等并没有给出有关 α 阶分数阶差分及 α 阶分数阶和分的定义, 我们能够合理给出非一致格子上分数阶差分与分数阶和分的定义吗?

另外, 作为非一致格子上最一般性的离散分数阶微积分, 它们也会有独立的意义, 并可以产生许多有意义的结果和新理论. 它们是一致格子上离散分数阶微积分的重要延拓和发展.

本书的主要内容是我们关于非一致格子上最新研究成果总结, 主要是探讨非一致格子条件下有限离散分数阶微积分与非一致格子超几何差分方程解之间的紧密关系. 在本书中, 我们首次提出了非一致格上的分数阶和分与分数阶差分, 我们已经能够合理给出一种非一致格子上分数阶和分以及差分合理的定义; 得到著名的Euler Beta 公式和 Cauchy Beta 复积分公式在非一致格子上的模拟形式以及 Taylor 公式和 Leibniz 公式等在非一致格子上的模拟形式, 并给出了非一致格子上广义 Abel 方程的解, 以及非一致格子上中心分数差分方程的求解等内容, 并且有机地将非一致格子上超几何差分方程、特殊函数、离散分数阶微积分三者有机地联系起来. 这都属于离散分数阶微积分理论进阶内容, 比较复杂且有趣. 这些新概念、新公式目前在国际上尚属首次, 是一个较难的创新, 它们才第一次出现在本书中, 相信也能引出许多新的更困难更有趣的问题, 进一步激发国内外同行参与钻研.

最后我要说的是, 非常荣幸邀请到了厦门大学科研处处长、厦门大学深圳研究院院长谭忠教授为本书作序, 他欣然乐意并爽快地为本书学术创新意义做了积极全面中肯的有益评价. 谭忠教授是著名数学教授, 厦门大学闽江学者特聘教授、国家级名师, 他著作等身, 且桃李满天下. 本书得到了谭忠教授主持项目的鼎力支持, 对于谭忠教授这份暖心感人的深情厚谊, 我表示衷心感谢. 此外, 还要感谢科学出版社责任编辑王丽平老师、孙翠勤老师和责任校对彭珍珍老师, 感谢她们为本书出版所做的辛勤付出和细致校对.