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标题: 请教高手 [打印本页]

作者: 淡紫的回忆 时间: 2008-8-29 12:52
标题: 请教高手
设f(x)是定义在区间D上的函数，若对于任何x1、x2 ∈D和实数λ∈（0，1），有f[λx1+（1-λ）x2]≥λf(x1)+（1-λ）f(x2)，则称f(x)是D上的凸函数。有帅哥美女能证明吗？
问题补充：怎样与f(x1+x2/2)>=f(x1)＋f(x2)/2 联系起来？

作者: 开始 时间: 2008-8-29 17:45
很不幸的告诉你这是一个定义不是一个定理是不需要证明的，这个定义是 J.L.W.V.Jengen 引入的，但是他给出的最开始并不是现在这个形式而是你下面给出的那种特殊形式！

作者: icesheep 时间: 2008-8-30 00:48
囧，两个定义有所不同，一般都用第一个来定义。
令第一个定义中 t = 1/2 即成为第二个定义。
然而这两个定义并不等价，事实上第二个定义要求函数连续，这样的函数才是凸函数。
否则 Dirichlet 函数将会是一个例子。

PS : 为了避免凹凸性产生歧义，现在我们不单纯地说凸函数，而说上凸函数，下凸函数。

[ 本帖最后由 icesheep 于 2008-8-30 00:51 编辑 ]

作者: xxfen 时间: 2008-9-1 15:45
事实上第二个定义要求函数连续，这样的函数才是凸函数。
否则 Dirichlet 函数将会是一个例子

上面补充的非常好

作者: kuing 时间: 2008-9-5 15:04
Dirichlet 函数是怎么样的，我没学过/GG

作者: icesheep 时间: 2008-9-5 17:31
之前说错了，D(x) 貌似不能作为反例，因为无理数加无理数可能是有理数。
D(x)定义为：
x 为有理数时，D(x)=1
x 为无理数时，D(x)=0

把D(x)稍微改进一下就能构造出反例：比如如下的 F(x):
x =1 or -1时，F(x)=1
x=0 时，       F(x)=2
x 不是整数时，F(x)=0

如此F(x)在区间 [-1,1] 之内必定满足 0.5(F(a)+F(b)) >= F(0.5(a+b))

但是不满足第二个定义，把(-1,1)和(1,1)连起来，但是F(x)函数图像并不全在直线下方，F(0)=2>1。
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仔细思考后，改进后的F(x)仍然不行...郁闷,感觉牵扯到集合的问题了。
我再努力寻找定义域 D 的一个划分，得到集合 P 与集合 Q，使得：
   任意的x∈P,y∈D,可以有(x+y)/2∈P，
   任意的x∈Q,y∈Q,可以有(x+y)/2∈Q，
能找到这样的划分，就不难构造函数说明两个定义不等价了。

[ 本帖最后由 icesheep 于 2008-9-6 11:59 编辑 ]

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