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标题: 一道不等式 [打印本页]

作者: 昨天 时间: 2008-8-29 23:57
标题: 一道不等式
对正数X,Y,Z,M,N，X+Y+Z+M+N=50,求（X+1/X)*(Y+1/Y)*(Z+1/Z)*(M+1/M)*(N+1/N)的最小值

作者: kuing 时间: 2008-8-30 15:56
令W=ln((X+1/X)*(Y+1/Y)*(Z+1/Z)*(M+1/M)*(N+1/N))=ln(x+1/x)+ln(y+1/y)+ln(z+1/z)+ln(m+1/m)+ln(n+1/n)
要求原式最小值，只需求W的最小值。
易证
f(x)=ln(x+1/x)在(0, Sqrt[2 + Sqrt[5]]]下凸，在[Sqrt[2 + Sqrt[5]], +无穷)上凸。
于是由半凹半凸，可知取最小值时至少四元相等，且此四元必在下凸区间中。
于是设
g(x)=4f(x)+f(50-4x)，0<x<Sqrt[2 + Sqrt[5]]，
则g(x)的最小值就是W的最小值。
……
暂时没办法求g(x)的最小值，太复杂了。
要解高次方程。
……………………
哎，楼主那个50是不是随便给的啊，太大了，导致又凹又凸，不能直接用琴生……

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