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标题: 对数小结 [打印本页]

作者: 天马行空 时间: 2008-11-16 13:32
标题: 对数小结
对数的概念　　英语名词：logarithms

　　如果a^b=n，那么log(a)(n)=b。其中，a叫做“底数”，n叫做“真数”，b叫做“以a为底的n的对数”。

　　log(a)(n)函数叫做对数函数。对数函数中n的定义域是n>0，零和负数没有对数；a的定义域是a>0且a≠1。
对数的历史　　对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）男爵。在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科。可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数。当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样。在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的。那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子：

　　n 0、1、2、3、 4、 5、 6、 7 、 8 、 9 、 10 、 11 、 12 、 13 、 14 、……

　　2^n 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……

　　这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384。纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗：计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了。这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点。所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣。伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明。法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾说对数可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”。
对数的性质及推导　　定义：

　　若a^n=b(a>0且a≠1)

　　则n=log(a)(b)

　　基本性质：

　　1、a^(log(a)(b))=b

　　2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

　　3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

　　4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

　　5、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

　　推导

　　1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。

　　2、MN=M×N

　　由基本性质1(换掉M和N)

　　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)]

　　由指数的性质

　　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

　　又因为指数函数是单调函数，所以

　　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

　　3、与（2）类似处理

　　MN=M÷N

　　由基本性质1(换掉M和N)

　　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

　　由指数的性质

　　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

　　又因为指数函数是单调函数，所以

　　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

　　4、与（2）类似处理

　　M^n=M^n

　　由基本性质1(换掉M)

　　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

　　由指数的性质

　　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

　　又因为指数函数是单调函数，所以

　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

　　基本性质4推广

　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

　　推导如下：

　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底]

　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

　　换底公式的推导：

　　设e^x=b^m,e^y=a^n

　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y

　　x=ln(b^m),y=ln(a^n)

　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

　　由基本性质4可得

　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

　　再由换底公式

　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] --------------------------------------------（性质及推导完）
函数图象　　1.对数函数的图象都过(1,0)点.

　　2.对于y=log(a)(n)函数,

　　①,当0<a<1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1.

　　②当a>1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.

　　3.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.
其他性质　　性质一：换底公式

　　log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)

　　推导如下：

　　N = a^[log(a)(N)]

　　a = b^[log(b)(a)]

　　综合两式可得

　　N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

　　又因为N=b^[log(b)(N)]

　　所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}

　　所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {这步不明白或有疑问看上面的}

　　所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)

　　公式二：log(a)(b)=1/log(b)(a)

　　证明如下：

　　由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b为底的对数

　　log(b)(b)=1 =1/log(b)(a) 还可变形得: log(a)(b)×log(b)(a)=1

　　在实用上，常采用以10为底的对数，并将对数记号简写为lgb,称为常用对数，它适用于求十进伯制整数或小数的对数。例如lg10=1,lg100=lg102=2,lg4000=lg（103×4）=3+lg4,可见只要对某一范围的数编制出对数表，便可利用来计算其他十进制数的对数的近似值。在数学理论上一般都用以无理数e=2.7182818……为底的对数，并将记号 loge。简写为ln，称为自然对数，因为自然对数函数的导数表达式特别简洁，所以显出了它比其他对数在理论上的优越性。历史上，数学工作者们编制了多种不同精确度的常用对数表和自然对数表。但随着电子技术的发展，这些数表已逐渐被现代的电子计算工具所取代。

作者: 5601706 时间: 2009-6-19 20:40
强大呵呵！！！！

作者: 元蛟 时间: 2009-7-13 14:52
这里不是教室耶

作者: xz5024 时间: 2009-7-28 11:44
囧这样的东西还是不用发了吧

作者: 里亦维奇 时间: 2009-7-28 23:26
很好，发这样的东西对知识点的掌握是很有用的，任何一种考试中，都是对知识点的掌握情况，所谓“万变不离其宗”，就是源于基础知识点而高于基础知识点，LZ，我赞你

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