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标题: 问:怎么证明√2是无理数 [打印本页]

作者: 泡面 时间: 2008-12-15 13:41
标题: 问:怎么证明√2是无理数
记得以前在教材上看到过，忘记了

我自己试证了一下，但是有不止一点问题
证明：用反证法。
      假设√2不是无理数。
      ∵√2没有虚部，∴√2不是复数，∴√2是有理数
      1^2=1,2^2=4,(√2)^2=2
      1^2＜(√2)^2＜2^2
      ∴√2不是整数
      ………………………………∴√2不是有限小数，∴√2是无限循环小数
      设√2=1+A，即A为√2的小数部分
               .                .          ＿＿＿＿＿＿＿
      设A=0.a1a2a3……an  ,  a=a1a2a3……an ，n,a∈N+
      10^n xA-A=a
      →A=a/（10^n-1）①
      (1+A)^2=2→A^2+2A-1=0
      把①带入解得a=-(10^n-1)+√[10^n(10^n-1)]②
      把② 带入①得A=-1+√[10^n/(10^n-1)]
      再带入1+A=√2整理得10^n=2 对于n∈N+不成立
      所以√2不是无限循环小数
      所以√2不是有理数
      与题意矛盾
      所以√2是无理数。

      就是 ………………………………这个地方证√2不是有限小数不会证了
      高手看看怎么做吧
   我也想看看标准解法

作者: 670330219 时间: 2008-12-15 17:41
不会……

作者: kuing 时间: 2008-12-16 01:37
可以证明任意非平方整数的平方根为无理数。

作者: wlx 时间: 2008-12-16 19:08
Hey, I tell you.
Proof by contradiction
Firstly, you know an irrational number cannot be written in the fraction form, so
Assume √2 =p/q , where p and q don’t have a common factor.
Square both side, you got:
2= p^2/q^2
Rearrange, 2q^2=p^2
This means p^2 is an even number, you know if p^2 is an even number , then p must be an even number as well, so rewrite p as 2n.
Therefore 2q^2=4n^2
Simplify this you get q^2=2n^2
This means q^2 is an even number, if q^2 is an even number , then q must be an even number as well, so q can be written as 2m.
Thus √2 =2n/2m , where top and bottom share a common factor of 2, aha! This is contradictory to our original assumption.
Proof by contradiction, you see…

作者: 泡面 时间: 2008-12-19 12:58
不懂这些数学名词
不过还是谢谢LS了

作者: xyj0415 时间: 2008-12-23 19:37
反证法
假设√2是有理数，设√2=p/q，p，q为整数，且p,q互质。
两边平方，移项，得2*q^2=p^2
所以p为偶数，p^2能整除4.
设p=2k(k为整数)，原式转为 q^2=2*k^2
同理，q也为偶数，与p,q互质矛盾
所以，√2为无理数

作者: castelu 时间: 2009-1-9 14:38
6楼的解法比较容易理解

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