数学之家

标题: 又没人发题了,我来吧 [打印本页]

作者: 战巡 时间: 2008-3-23 21:01
标题: 又没人发题了,我来吧
$\\displaystyle b_n=a_n-a_{n+1}$
$\\displaystyle \\frac{2}{n}a_n+b_n+1=0$
(1)求证{bn}为等差数列
(2)若 $\\displaystyle b_2=b_1-2$
证明 $\\displaystyle \\frac{1}{a_1}+\\frac{1}{a_2}+....+\\frac{1}{a_n}<\\frac{5}{3}$

作者: castelu 时间: 2008-3-23 21:48
a[sub]n[/sub] 前面的系数是2/n ?

作者: castelu 时间: 2008-3-23 21:59
(n+2)b[sub]n[/sub]=(n-1)b[sub]n-1[/sub]-1

只做到这步

作者: 战巡 时间: 2008-3-23 22:24
不对吧..............

作者: 浪尖的男孩 时间: 2008-3-24 03:49
(n+2)bn=(n+1)bn+1+1

作者: 浪尖的男孩 时间: 2008-3-24 04:04
(n+2)bn=(n+1)bn+1+1 è (n+2)bn=(n+1)bn+1+(n+2)-(n+1) è (n+2)(bn-1)=(n+1)(bn+1-1)然后就可以一直写下去消项，最后得到一个bn关于n的一次式说明bn是等差数列

作者: 浪尖的男孩 时间: 2008-3-24 04:16
第二问我觉得可以令b[sub]1[/sub]=1 然后得到a[sub]n[/sub]=a[sub]1[/sub]+（n-1）[sup]2[/sup] 带入不等式左边然后将式子放大将分母的所有a[sub]1[/sub]抹去然后裂项放大就可以得到结论了

作者: 战巡 时间: 2008-3-24 20:27

原帖由 浪尖的男孩 于 2008-3-24 04:16 发表
第二问我觉得可以令b1=1 然后得到an=a1+（n-1）2 带入不等式左边然后将式子放大将分母的所有a1抹去然后裂项放大就可以得到结论了

.............
怎么可以直接令b1=1呢...........
其实根据条件是可以求出b1,bn和an的

作者: 浪尖的男孩 时间: 2008-3-25 00:58
哦还真是的呵呵忽略掉了都求出来就更好办了是吧

作者: 算术研究 时间: 2008-9-1 14:48

作者: xjc03 时间: 2009-5-26 19:15
太简单...
1.先bn前n项和Sn
Sn=a1-a(n+1);
代入下式
2a1-2Sn-1+nbn+n=0
2a1-2Sn+(n+1)b(n+1)+n+1=0
故(n+2)bn-(n+1)b(n+1)-1=0
(n+3)n(n+1)-(n+2)b(n+2)-1=0
所以bn+b(n+2)=2b(n+1)

2.an=-n/2*(b1-2n+3)=n^2>n(n-1) b1=-3
so 1/a1+1/a2+...+1/an<2-1/n
当n>=2时成立 n=1 a1=1显然成立证毕

作者: sunzhibin011 时间: 2009-5-27 12:29
晕这也简单

作者: 元蛟 时间: 2009-7-13 11:09
挺不错的呀

欢迎光临数学之家 (http://www.2math.cn/)