设直线$OP$的斜率为$k$，
（1）当$k=0$或$k$不存在时，$|OP|^2+|OQ|^2=a^2+b^2$
（2）对于一般情况，设$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，直线$OP$：$y=kx$，直线$OQ$：$y=-\frac{1}{k}x$，
由于$P$、$Q$同时在椭圆和两条直线上，
$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\
y=kx\\
y=-\frac{1}{k}x
\end{array} \right.$$，
代入可以得到：
$$x_1^2=\frac{a^2b^2}{a^2k^2+b^2}，x_2^2=\frac{a^2k^2b^2}{a^2+k^2b^2}$$
$$\frac{1}{|OP|^2}+\frac{1}{|OQ|^2}=\frac{1}{x_1^2+y_1^2}+\frac{1}{x_2^2+y_2^2}$$
$$=\frac{1}{x_1^2+k^2x_1^2}+\frac{1}{x_2^2+\frac{1}{k^2}x_2^2}$$
$$=\frac{1}{(k^2+1)x_1^2}+\frac{k^2}{(k^2+1)x_2^2}$$
代入$x_1^2$，$x_2^2$得到：
$$=\frac{a^2k^2+b^2}{(k^2+1)a^2b^2}+\frac{k^2(a^2+k^2b^2)}{(k^2+1)a^2k^2b^2}$$
$$=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$$
根据基本不等式：
$$|OP|^2+|OQ|^2 \ge 2|OP||OQ| \ge \frac{4}{\frac{1}{|OP|^2}+\frac{1}{|OQ|^2}}=\frac{4}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}=\frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}$$

结合（1）（2），再根据不等式：
$$a^2+b^2 \ge \frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}$$
得到：
$$\min\limits \left(|OP|^2+|OQ|^2 \right)=\frac{4a^2b^2}{a^2+b^2}$$