双曲变换在求解不定积分中的应用

　　我们知道，三角换元是求解含有无理根式不定积分的常见方法。但是，对于某些含有无理根式的不定积分，双曲变换是更佳的方法。
　　我们利用双曲变换求某些含有无理根式的不定积分：

例1　求不定积分
$$\int \frac{{\rm d}x}{\sqrt{x^2+1}}$$
　　利用变量代换$x=\sinh t$，则${\rm d}x=\cosh t{\rm d}t$，即有
$$\int \frac{{\rm d}x}{\sqrt{x^2+1}}=\int dt=t+C$$
因此就得到
$$\int \frac{{\rm d}x}{\sqrt{x^2+1}}=\arcsin{\rm h}x+C=\ln(x+\sqrt{x^2+1})+C$$

例2　求不定积分
$$\int \sqrt{a^2+x^2}{\rm d}x$$
　　不妨设$a>0$，利用变量代换$x=a\sinh t$，则${\rm d}x=a\cosh t{\rm d}t$，即有
$$\int \sqrt{a^2+x^2}{\rm d}x=a^2\int \cosh ^2t{\rm d}t=\frac{a^2}{2}\int (1+\cosh 2t){\rm d}t$$
$$=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{4}\sinh 2t+C=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{2}\sinh t\cosh t+C$$
因此就得到
$$\int \sqrt{a^2+x^2}{\rm d}x=\frac{a^2}{2}\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+a^2}+C$$