急啊！！！

fxw0806 · 发表于 2009-2-16 20:36:07

做不来！！

战巡 · 发表于 2009-2-16 21:42:00

(1)如果M到(1,0)距离为l，那么M到x=-2距离为l-1，M到x=-1距离为l，所以M轨迹为抛物线，而且它以(1,0)为焦点，x=-1为准线
这样得到轨迹方程
$\\displaystyle y^2=4x$
(2)、设A(x1,y1),B(x2,y2)
这样根据垂直有
$\\displaystyle x_1x_2+y_1y_2=0$
AB方程为
$\\displaystyle \\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1)=y-y_1$
利用点参数得到
$\\displaystyle y_1^2=4x_1$
$\\displaystyle y_2^2=4x_2$
$\\displaystyle (y_1-y_2)(y_1+y_2)=4(x_1-x_2)$
$\\displaystyle \\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\\frac{4}{y_1+y_2}$
带入上面得到
$\\displaystyle 4(x-x_1)=y(y_1+y_2)-y_1^2-y_1y_2=y(y_1+y_2)-4x_1-y_1y_2$
$\\displaystyle 4x=y(y_1+y_2)-y_1y_2$
显然它会过点 $\\displaystyle (-\\frac{y_1y_2}{4},0)$
但是y1y2是否是定值呢？算算就知道了
$\\displaystyle y_1^2y_2^2=16x_1x_2$
加上前面的 $\\displaystyle y_1y_2+x_1x_2=0$
得到
$\\displaystyle x_1x_2=16,y_1y_2=-16$
这样就好了，它过(4,0)
最后一问我再想想，等会给答案

[ 本帖最后由战巡于 2009-2-16 21:46 编辑 ]

战巡 · 发表于 2009-2-17 00:53:25

最后一问：
设那个定点为P(x0,y0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)
根据垂直有
$\\displaystyle (y_1-y_0)(y_2-y_0)+(x_1-x_0)(x_2-x_0)=0$
而
$\\displaystyle x_0=\\frac{y_0^2}{2p}$
$\\displaystyle x_1=\\frac{y_1^2}{2p}$
$\\displaystyle x_2=\\frac{y_2^2}{2p}$
带入得到
$\\displaystyle (y_1-y_0)(y_2-y_0)+\\frac{(y_1^2-y_0^2)(y_2^2-y_0^2)}{4p^2}=0$
$\\displaystyle (y_1-y_0)(y_2-y_0)+\\frac{(y_1-y_0)(y_1+y_0)(y_2-y_0)(y_2+y_0)}{4p^2}=0$
显然y1,y2都不等于y0，那么有
$\\displaystyle 1+\\frac{(y_1+y_0)(y_2+y_0)}{4p^2}=0$
$\\displaystyle y_1y_2+(y_1+y_2)y_0+y_0^2=-4p^2$
而AB方程为
$\\displaystyle \\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1)=y-y_1$
同样利用点参数得到
$\\displaystyle (y_1-y_2)(y_1+y_2)=2p(x_1-x_2)$
$\\displaystyle \\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\\frac{2p}{y_1+y_2}$
带入得到
$\\displaystyle 2p(x-x_1)=y(y_1+y_2)-y_1^2-y_1y_2=y(y_1+y_2)-2px_1-y_1y_2$
$\\displaystyle 2px=y(y_1+y_2)-y_1y_2$
而根据上面那个式子，可以得到
$\\displaystyle -y_1y_2=4p^2+(y_1+y_2)y_0+y_0^2$
带入得到
$\\displaystyle 2px=y(y_1+y_2)+4p^2+(y_1+y_2)y_0+y_0^2=(y_1+y_2)y+4p^2+(y_1+y_2)y_0+2px_0$
$\\displaystyle 2p(x-x_0-2p)=(y_1+y_2)(y+y_0)$
因此AB一定过点 $\\displaystyle (x_0+2p,-y_0)$

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