有关数列的证明题~

cryptbug · 发表于 2009-5-17 14:48:17

题如下图

战巡 · 发表于 2009-5-17 23:12:37

唉...数学归纳吧...
不过题目本身好像有些问题，那两个小于号应该改成小于等于
$\\displaystyle a_n=2^n(a_{n+1}-a_n)$

$\\displaystyle a_{n+1}=(1+\\frac{1}{2^n})a_n$
n=1时
$\\displaystyle 2-\\frac{1}{2^{1-1}}{\\le}a_1{\\le}(\\frac{3}{2})^{1-1}$ 是成立的
假设n=k时成立，就是有
$\\displaystyle 2-\\frac{1}{2^{k-1}}{\\le}a_k{\\le}(\\frac{3}{2})^{k-1}$
n=k+1时
$\\displaystyle (2-\\frac{1}{2^{k-1}})(1+\\frac{1}{2^k}){\\le}a_{k+1}{\\le}(\\frac{3}{2})^{k-1}(1+\\frac{1}{2^k})$

$\\displaystyle 2-\\frac{1}{2^k}<2-\\frac{1}{2^{2k-1}}){\\le}a_{k+1}{\\le}(\\frac{3}{2})^{k-1}(1+\\frac{1}{2^k})<(\\frac{3}{2})^{k-1}(\\frac{3}{2})=(\\frac{3}{2})^k$
因此n=k+1时不等式也成立
所以原不等式成立

cryptbug · 发表于 2009-5-19 12:30:03

多谢了。

xjc03 · 发表于 2009-5-26 16:43:58

an=2^n(an+1-an)>=2(an+1-an)
a(n+1)/an<=3/2
an=an/a(n-1)*an/a(n-1)*...*a2/a1*a1<=(3/2)^n-1;
显然an是递增序列
an=2^n(an+1-an)>=1
a(n+1)-an>=(1/2)^n
求和 an>2-1/2^(n-1)
...

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