2009IMO试题4

里亦维奇 · 发表于 2009-7-17 12:22:16

在三角形 ABC 中， AB=AC ， ∠CAB 和 ∠CBA 的角平分线分别交 BC,AC 于点 D,E 。
设 K 是三角形 ACD 的内心， ∠BEK=45° ，求 ∠BAC 。

战巡 · 发表于 2009-7-17 22:40:50

这IMO的题果然混蛋啊........
不但纯几何难以解决，而且居然有两个解

还是用解析几何好办点
以D为原点，AD为y轴，BC为x轴建立坐标系，设B(-1,0),C(1,0),A(0,a)
则可以求出
$\\displaystyle E(\\frac{\\sqrt{a^2+1}}{\\sqrt{a^2+1}+2},\\frac{2a}{\\sqrt{a^2+1}+2})$

$\\displaystyle K(\\frac{a+1-\\sqrt{a^2+1}}{2},\\frac{a+1-\\sqrt{a^2+1}}{2})$
然后
$\\displaystyle k_{EK}=\\frac{\\frac{\\sqrt{a^2+1}}{\\sqrt{a^2+1}+2}-\\frac{a+1-\\sqrt{a^2+1}}{2}}{\\frac{2a}{\\sqrt{a^2+1}+2}-\\frac{a+1-\\sqrt{a^2+1}}{2}}$

$\\displaystyle k_{BE}=\\frac{\\frac{\\sqrt{a^2+1}}{\\sqrt{a^2+1}+2}+1}{\\frac{2a}{\\sqrt{a^2+1}+2}}$
这样有
$\\displaystyle \\frac{k_{EK}-k_{BE}}{1+k_{EK}k_{BE}}=tan(45)=1$
化简得到
$\\displaystyle -\\frac{a(a^2-1+\\sqrt{a^2+1}-a(2+\\sqrt{a^2+1}))}{1+3a^3+\\sqrt{1+a^2}-a(2+\\sqrt{a^2+1})}=1$

$\\displaystyle 1-3a+a^3+\\sqrt{1+a^2}-a^2(\\sqrt{a^2+1}-1)=0$

$\\displaystyle (a-1)(1-2a-a^2+\\sqrt{a^2+1}+a\\sqrt{a^2+1})=0$
这就得到第一个解——a=1
然后当这个式子后面的部分等于0时
$\\displaystyle 1-2a-a^2+\\sqrt{a^2+1}+a\\sqrt{a^2+1}=0$

$\\displaystyle (a+1)\\sqrt{a^2+1}=a^2+2a-1$
显然左边是大于0的，那么右边也要大于0才能成立，因此有
$\\displaystyle a<-\\sqrt{2}-1,or,a>\\sqrt{2}-1$
这样两边平方化简得到
$\\displaystyle 2a^3-6a=0$

$\\displaystyle a_1=0,a_2=\\sqrt{3},a_3=-\\sqrt{3}$
显然只有a2,a3满足条件，而a>0，因此只有a2满足条件
这就解出了a的所有解
$\\displaystyle a_1=1,a_2=\\sqrt{3}$
对应求出顶角分别为90度和60度

元蛟 · 发表于 2009-7-19 09:13:14

强，强，太强悍了！
两个天才级的高手竟然讨论一道初中数学题讨论得怎么起劲
直接利用对称，角ADK=角BEK=45度。就出来了
真被你们打败了

石崇的BOSS · 发表于 2009-7-22 20:13:36

来自清华大学计算机系IMO2004金牌得主黄志毅的解答：

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EMP震荡波 · 发表于 2009-7-22 20:36:13

3楼有没有画图？

5601706 · 发表于 2009-7-22 22:25:19

怎么全是那家伙

元蛟 · 发表于 2009-7-23 07:44:16

3楼的图画了
只是我不知道90度的图怎么画

lnfswsr · 发表于 2010-4-28 10:23:41

aaaaaaaaaaaa

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[已解决] 2009IMO试题4