几何第756题

里亦维奇

如图，线段PA,PB与圆O相切，A,B是切点，PCD是不经过点O的圆O的割线，C在P,D之间，经过点C的圆O的切线交PA,PB于M,N，G是线段CD上一点，且∠CGM=∠CGN，求证：GC=GD.

战巡

..........
连接GA,GB
设∠MGC=∠NGC=a，∠MGA=b，∠NGB=c
易证PA=PB,MC=MA,NC=NB
这样有
S△AMG/S△APG=AM/AP=MGsin(b)/[PGsin(a+b)]
S△BNG/S△BPG=BN/BP=NGsin(c)/[PGsin(a+c)]
相除得到
AM/BN=(MG/NG)sin(b)sin(a+c)/[sin(c)sin(a+b)]
而由角平分线定理得到
MG/MC=NG/NC
带入得到
sin(b)sin(a+c)/[sin(c)sin(a+b)]=1
sin(b)sin(a+c)=sin(c)sin(a+b)
sin(b)sin(a)cos(c)+sin(b)sin(c)cos(a)=sin(c)sin(a)cos(b)+sin(c)sin(b)cos(a)
tan(b)=tan(c)
b=c
这样有∠MGA=∠NGB，∠PGA=∠PGB
然后由正弦定理得到
PA/sin∠PGA=PG/sin∠PAG
PB/sin∠PGB=PG/sin∠PBG
相除得到
sin∠PAG=sin∠PBG
由于PD不是直径，∠PAG显然不会等于∠PBG
因此∠PAG+∠PBG=180
P、A、G、B共圆
另外易证P、A、O、B共圆
因此P、A、G、O、B共圆
这样有∠OGP=∠OAP=90
所以G为CD中点

石崇的BOSS

本题可用同一法证明：

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5601706

wo !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

qtstc

每次都骗回复- -

石崇的BOSS

其实不是骗回复，目的是为了让更多的人在本论坛里面注册会员，这样才能引起更多的人的关注，本论坛才能发展得更加强大！

422021984

对几何证明是越来越生疏了~~~

xz5024

战巡果然无敌~