三角形五心

石崇的BOSS · 发表于 2009-8-4 23:37:26

已知I是三角形ABC的内心，D、E、F分别是三角形ABC的三个旁心，求证：I是三角形DEF的垂心。

qtstc · 发表于 2009-8-5 18:46:56

本帖最后由石崇的BOSS 于 2009-8-7 23:43 编辑

这题道不难- -一个月前正好做过.
由旁心性质知角BFA=90度-1/2角ACB=角ACE
所以FACD四点共圆.
同理BAED,ABDE也分别四点共圆.
所以角CAD=角DFC=角BED=角ABD,
即AD为角BAC的角平分线
同理 BE,FC也分别为角FED和角DFE的角平分线

如果哪错了请指出- -

zhangyuong · 发表于 2009-8-6 22:13:12

这是显而易见的
因为一条直线是一个平角180度，内外角平分线平分之后，相当于把这个角分成了4份
其中两两相等，这样内角平分线和外角平分线夹角就是90度
因此这个结论便如此证出了

里亦维奇 · 发表于 2009-8-7 08:09:40

2# qtstc
角BFA=90度-1/2角=角ACB
中间那个是1/2角什么？

高斯门徒 · 发表于 2009-8-7 11:00:28

2# qtstc 角BFA=90度-1/2角=角ACB???

qtstc · 发表于 2009-8-7 12:13:53

本帖最后由 qtstc 于 2009-8-7 12:17 编辑

角BFA=90度-1/2角ACB=角ACE
发错- -

石崇的BOSS · 发表于 2009-8-9 21:09:56

2# qtstc
你把题目的已知条件和求证搞反了吧？

里亦维奇 · 发表于 2009-8-9 22:24:27

我把2楼的答案整理一下：
如图，由旁心性质得FC平分∠ACB，EC平分∠ACG，故∠FCA+∠ACE=90°
即FC⊥DE，同理得DA⊥EF，EB⊥FD，故I是△DEF的垂心.(这个答案还简单些……)

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