请教一道高数课后题

appletree444

向各位请教一道高数的课后题，呵呵：
设函数u(x)与v(x)以及它们的导函数u'(x)和v'(x)在区间[a,b]上都连续，且uv'-u'v在
[a,b]上恒不等于0。证明：在u(x)的相邻两根之间必有v(x)的一个根，反之亦然。即有：u(x)与v(x)的根互相交错地出现。

EMP震荡波

令f(x)=u(x)/v(x),v(x)≠0
那么f(x)在v(x)≠0的区间（设为[a1，b1]）上连续
由Lagrange中值定理
得f(a1)-f(b1)=(a1-b1)f'(ξ1)
又有f'(x)≠0,所以f(a1)和f(b1)不全为0
而f(x)=0的解即为u(X)=0的解
说明u(x)=0的任意两根之间必有v(x)=0的根
同理令g(x)=v(x)/u(x)
可得v(x)=0的任意两根之间必有u(x)=0的根
因此u(x)=0和v(x)=0的根交错出现

appletree444

多谢楼上，但是我还是不太明白：“由Lagrange中值定理得f(a1)-f(b1)=(a1-b1)f'(ξ1)，  又有f'(x)≠0,所以f(a1)和f(b1)不全为0”之后，怎么从“f(x)=0的解即为u(X)=0的解”说明出“u(x)=0的任意两根之间必有v(x)=0的根”的呢？

EMP震荡波

f(a1)和f(b1)不全为0，由于f(x)=0的解即为u(x)=0的解
所以u(a1)和u(b1)不全为0
也就是说，在任意一个v(x)=0无实根的区间内，不会出现2个u(x)=0的根