重要数列极限(e的表达式-2)

castelu

研究领域：
       数学分析中对于计算和证明有着明确的界定，本文中我们假设无理数$e$已经由极限表达式$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n$定义，而以下的研究工作仅仅是通过恒等变换，利用各种已知的结论计算目标未定式的极限为已知量$e$，而若要利用本文给出的目标未定式定义无理数$e$，则需要采用极限的定义或者单调有界定理来证明，这不是本文的研究领域。

研究目标：
       结果为$e$的数列极限都是重要极限，其中一种表达式如下：
       $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} = e$

研究过程：
（1）引理：假设$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n=a$，那么$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} = a$

       证明：因为$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n=a$
                  所以$\forall \epsilon, \exists N, s.t.   n \ge N, |a_n-a|< \frac {\epsilon}{2}$
                  所以$|\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}-a| = |\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+...+(a_n-a)}{n}|$
                      $\le \frac{|a_1-a|+|a_2-a|+...+|a_{N-1}-a|}{n} + \frac{|a_N-a|+...+|a_n-a|}{n}$
                      $\le \frac {\epsilon}{2} + \frac {(n-N)\epsilon}{2n} < \epsilon$
                  所以$\forall \epsilon, \exists N, s.t.   n \ge N, |\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}-a|< \epsilon$
                  所以$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} = a$

（2）计算：

       方法一：利用$e$的定义和引理

       $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}e^{\ln(\frac{n}{\sqrt[n]{n!}})} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}e^{\ln n-\ln \sqrt[n]{n!}}$
   $= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}e^{\frac{(\ln 2-\ln 1)+2(\ln 3-\ln 2) + \cdots + (n-1)[\ln n-\ln (n-1)]}{n}}$
   $= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}e^{(n-1)[\ln n-\ln (n-1)]} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}e^{(n-1)[\ln (1+\frac{1}{n-1})]}$
   $= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}e^{\frac{n-1}{n-1}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}e = e$

       方法二：利用$e$的定义和构造定积分

       $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}e^{\ln \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}e^{\ln \frac{1}{\sqrt[n]{\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \cdots \cdot \frac{n}{n}}}}$
   $= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}e^{-\frac{1}{n}\ln (\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \cdots \frac{n}{n})} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}e^{-\frac{\ln \frac{1}{n}+\ln \frac{2}{n} + \cdots + \ln \frac{n}{n}}{n}}$
   $= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}e^{-\int_0^1 \ln x{\rm d}x} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}e = e$

研究成果：
       $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}} = e$

jsliwenyun

这个第二个计算的话，可不可以如下

castelu

对的