预选试题及建议

zhangyuong

16.$\alpha,\beta \in R$，且满足$\cos \alpha \ne \cos \beta$，那么对所有$n \ge 2$的自然数，都有

$|\frac{\cos n\beta \cos \alpha-\cos n\alpha \cos \beta}{\cos \beta-\cos \alpha}|<n^2-1$

建议难度：中等偏难
建议分类：高中

考点：三角变换，绝对值不等式

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17.已知数列$\left\{a_n\right\}$是正项等差数列，其中公差$d>0$，求证：

$\frac{a_1}{a_2}\frac{a_3}{a_4} \cdots \frac{a_{2n-1}}{a_{2n}}< \sqrt {\frac{a_1}{a_{2n+1}}}$

建议难度：简单
建议分类：高中

考点：等差数列的性质，数学归纳法，基本的不等式的放缩

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18.实数$x$满足$x^3=x+1$。证明：

$x^{3n}=a_n x + b_n + \frac{c_n}{x}$

其中

$
\left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=a_n + b_n\\
b_{n+1}=a_n + b_n + c_n\\
c_{n+1}=a_n + c_n
\end{array} \right.
$

建议难度：简单
建议分类：高中

考点：数列递推，数学归纳法

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19.在凸五边形中任取两点，证明：可以在五边形的顶点中任取四点连成四边形，使得所选的两个点都在其内部。

建议难度：简单
建议分类：初中或高中均可

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20.三角形的最大边的边长为$1$，以它的三个顶点为圆心各作一个半径为$\frac{\sqrt 3}{3}$.证明：这三个圆盖住了整个三角形

建议难度：简单
建议分类：高中

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21.设四面体$ABCD$中，$AB \bot CD$，$AC \bot BD$，求证：$AD \bot BC$

建议难度：中等
建议分类：高中

考点：空间向量

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22.证明，存在数$A$和$B$，使得对每个$n \in N^+$，有

$a_1+a_2+\cdots+a_n=A\tan n+Bn$

其中
$a_k=\tan k \cdot \tan(k-1)$

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23.正整数列$a_1<a_2<a_3<\cdots$满足$a_1=1$，且当$n \in N^+$时，

$a_{n+1}<2n$

证明，对每个$n \in N^+$，在数列$\left\{a_n\right\}$中总有两个项$a_p$和$a_q$，使得

$a_p-a_q=n$