不等式证明题

极光

已知：$a$，$b$，$c \ge 0$，且$a+b \ge c$。
求证：$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b} \ge \frac{c}{1+c}$

zhangyuong

在$a,b$之一有一个为0时必然成立，现假设$a,b \ne 0$，令$f(x)=\frac{x}{1+x}$，那么$f(x)=1-\frac{1}{1+x}$在$x \ge 0$时是增函数
由$c \le a+b$有$\frac{c}{1+c} \le \frac{a+b}{1+a+b}$，也就是要证明
$\frac{a+b}{1+a+b} \le \frac{a+b+2ab}{1+a+b+ab}$（右式就是原不等式右边加起来）
这等价于$1+\frac{2ab}{a+b} \ge 1+\frac{ab}{1+a+b}$而这展开后等价于$1+a+b \ge 0$，这是显然的。
因此不等式证毕

极光

谢谢啊，知道了