佩尔方程（Pell's Equation）

zyzme

定义1.设$x,y,d\in N^*$,则$x^2-dy^2=1$ (1)
和 $x^2-dy^2=-1$ (2)
称为佩尔方程。

1.若$d$是完全平方数，则（1）式无解。
2.若$d$不是完全平方数，则（1）式有无穷多组解。这些解可以由$\sqrt{d}$ 的连分数给出。

定理1. 若$(x_1,y_1)$是（1）式的一组最小正整数解，则（1）式的所有解$(x_n,y_n)$可以由以下关系给出

$\begin{equation*}
x_n= \frac{1}{2}[(x_1+y_1 \sqrt{d})^n+(x_1-y_1\sqrt{d})^n]\\
y_n= \frac{1}{2 \sqrt{d}}[(x_1+y_1\sqrt{d})^n-(x_1-y_1\sqrt{d})^n]
\end{equation*}$

或者记作$x_n+y_n\sqrt{d}=(x_1+y_1\sqrt{d})^n$
并且满足$x_n=2x_1x_{n-1}-x_{n-2}\\
y_n=2x_1y_{n-1}-y_{n-2}$


定义2.设$a_0\in R,a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots \in N^*$，则称
$$a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\cdots+\frac{1}{a_n+\frac{1}{\cdots}}}}}$$
为连分数，记作$[a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots]$或者$a_0+\frac{1}{a_1+}\frac{1}{a_2+}\cdots \frac{1}{a_n+}\cdots $

例1.$\sqrt{2}=1+\sqrt{2}-1=1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=1+\frac{1}{2+\sqrt{2}-1}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\sqrt{2}-1}}\\
=[1,2,2,\cdots]=1+\frac{1}{2+}\frac{1}{2+}\cdots \frac{1}{2+}\cdots $

例2. 求$x^2-2y^2=1$的正整数解.

解析：因为$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots}}}$
由$1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$,所以，$(3,2)$是一组最小正整数解.
由$1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}=\frac{17}{12}$,所以，$(17,12)$ 是另一组解。




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定理2.设$d\in N^*,d$不是完全平方数,则$\sqrt{d}$的连分数的形式一定是$[a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n,2a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n,a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots]$.
设它的渐进分数为$\frac{p_k}{q_k}$

若$n$为奇数,则(1)式的全部解为$x=p_{nj-1},y=q_{nj-1},j=2,4,6,\cdots$
(2)式的全部解为$x=p_{nj-1},y=q_{nj-1},j=1,3,5,\cdots$

若$n$为偶数,则(1)式的全部解为$x=p_{nj-1},y=q_{nj-1},j=1,2,3,\cdots$
(2)式无解