求n值

chunqiuzhuan

求所有正整数n，使得存在正整数x1,x2,x3....x2012，满足x1＜x2＜x3...＜x2012，且1/x1+2/x2+3/x3+.....+2012/X2012=n

castelu

由题意得
n=1/x(1)+2/x(2)+..+2012/x(2012)<=1/1+2/2+..+2012/2012=2012
考虑用数学归纳法
首先当n=1时,令x(1)=2012 x(2)=2*2012 .. x(2012)=2012*2012
即1/x(1)+2/x(2)+..+2012/x(2012)=1
当n=k+1时,这里1<=k<=2011
令x(1)=1 x(2)=2 .. x(k)=k x(k+1)=(2012-k)(k+1) x(2012)=(2012-k)*2012
此时1/x(1)+2/x(2)+..+2012/x(2012)=k+(2012-k)*[1/(2012-k)]=k+1=n
由数学归纳法知 满足条件的所有正整数n为1 2 .. 2012