关于反函数积分

永恒的riemann

设$\mathit{f\left(x\right)}$$\mathrm{=}$$\mathit{x{e}^{x}}$有反函数$\mathit{g\left(x\right)}$使$\mathit{x}$$\mathrm{=}$$\mathit{g{e}^{g}}$, 求
$\int_{0}^{\infty}$$\frac{\mathit{g\left( x\right)}}{2x\sqrt{x}}$$\mathrm{-}$$\mathit{g\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}$$\mathit{dx}$.

永恒的riemann

g里面是1/x²

永恒的riemann

题目稍微补充一下：当${x}$$\in$$\left[ 0,\infty\right)$有反函数g使x=ge^g

castelu

利用凑微分法使同类积分抵消：
$$\int_0^{+\infty}\left[ \frac{g(x)}{2x\sqrt x}-g\left( \frac{1}{x^2} \right) \right]{\rm d}x=-\int_0^{+\infty}g(x)d\left( \frac{1}{\sqrt x} \right)-\int_0^{+\infty}g\left( \frac{1}{x^2} \right){\rm d}x$$
$$=\int_0^{+\infty}g\left( \frac{1}{t^2} \right)dt-\int_0^{+\infty}g\left( \frac{1}{x^2} \right){\rm d}x=0$$

计算过程成立的条件是：
$$\int_0^{+\infty}g\left( \frac{1}{x^2} \right){\rm d}x=\int_0^{+\infty}\frac{g(x)}{2x\sqrt x}{\rm d}x$$
收敛

证明：
当$x>0$时，$f(x)>x$，则$0<g(x)<x$，故$\frac{g(x)}{2x\sqrt x}<\frac{1}{2x\sqrt x}$，则
$$\int_0^1\frac{g(x)}{2x\sqrt x}{\rm d}x$$
收敛；
当$x>e>1$时，$f(x) \ge e^x$，则$x>1$时，$0<g(x) \le \ln x$，而$\frac{\ln x}{x^{\delta}} \to 0（x \to +\infty）$，其中$\delta>0$，
故$0<\frac{g(x)}{x^{\frac{1}{4}}} \le \frac{\ln x}{x^{\frac{1}{4}}} \to 0（x \to +\infty）$，
由于
$$\int_0^{+\infty}\frac{1}{2x \cdot x^{\frac{1}{4}}}{\rm d}x$$
收敛，故
$$\int_1^{+\infty}\frac{g(x)}{2x\sqrt x}{\rm d}x$$
收敛。
综上，
$$\int_0^{+\infty}\frac{g(x)}{2x\sqrt x}{\rm d}x$$
收敛。

科普：这是LambertW函数$W(x)$，满足$z=W(z)e^{W(z)}$，其中$z$是任意复数，
$W(x)$在$x=0$的泰勒级数：
$$W(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n$$
收敛半径是$\frac{1}{e}$。