裴礼文 一元积分学 366页 练习4.3.11 解答

castelu

练习4.3.11：

　　函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，并且对于任何区间$[\alpha,\beta](a \le \alpha < \beta \le b)$，不等式
$$\left| \int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx \right| \le M|\beta-\alpha|^{1+\delta}（M, \delta是正常数）$$
　　成立。证明：在$[a,b]$上，$f(x) \equiv 0$。

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解：
　　令
$$F(x)=\int_a^x f(t)dt$$
　　那么
$$|F(\beta)-F(\alpha)| \le M|\beta-\alpha|^{1+\delta}$$
　　由于$f(x)$连续，所以$F(x)$可导
$$|F'(\alpha)|=|f(\alpha)|=\lim\limits_{\beta \to \alpha}\left| \frac{F(\beta)-F(\alpha)}{\beta-\alpha} \right| \le M\lim\limits_{\beta \to \alpha}|\beta-\alpha|^{\delta}=0$$
　　故$F'(\alpha)=0$，根据$\alpha$的任意性，$F'(x) \equiv 0$，$\forall x \in [\alpha,\beta]$，于是$f(x) \equiv 0$。