裴礼文 多元函数微分学 676页 练习6.2.25 解答

castelu

练习6.2.25：
　　设二元可微函数$F(x,y)$在直角坐标系中可写成$F(x,y)=f(x)+g(y)$，在极坐标系中$F(x,y)=s(r)$，试求$F(x,y)$。

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解：
　　由于
$$r=\sqrt {x^2+y^2}$$
　　并且
$$s(r)=f(x)+g(y)$$
　　两边关于$x$求导
$$f'(x)=\frac{xs'(r)}{r}$$
　　两边关于$y$求导
$$g'(y)=\frac{ys'(r)}{r}$$
　　两式相除
$$\frac{f'(x)}{g'(y)}=\frac{x}{y}=C（C是任意常数）$$
　　所以
$$f’(x)=Cx$$
　　两边积分
$$f(x)=\frac{1}{2}Cx^2+C_1（C_1是任意常数）$$
　　同理
$$g(y)=\frac{1}{2}Cy^2+C_2（C_2是任意常数）$$
　　于是
$$F(x,y)=f(x)+g(y)=\frac{1}{2}C(x^2+y^2)+C_1+C_2$$
　　令
$$A=\frac{1}{2}C, B=C_1+C_2$$
　　就有
$$F(x,y)=A(x^2+y^2)+B（A，B是任意常数）$$