裴礼文 多元积分学 830页 练习7.1.25 解答

castelu

练习7.1.25：
　　设$f(x)$为周期连续函数$(-\infty<x<+\infty)$，
$$g(x)=\frac{1}{h^2}\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}f(x+u+v)dudv$$
　　证明：$g(x)$有二阶连续函数，且$\left\|{g-f}\right\| \le \frac{1}{2}w_2(f,g)$。
　　其中
$$\left\|{g-f}\right\|=\max\limits_{-\infty<x<+\infty}|g(x)-f(x)|$$
$$w_2(f,g)=\sup\limits_{-\infty<x<+\infty,0<\delta<h}|f(x+\delta)+f(x-\delta)-2f(x)|$$

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解：
　　令$t=x+u$
$$g(x)=\frac{1}{h^2}\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\int_{x-\frac{h}{2}}^{x+\frac{h}{2}}f(t+v)dtdv$$
$$g'(x)=\frac{1}{h^2}\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\left[f\left(x+\frac{h}{2}+v\right)-f\left(x-\frac{h}{2}+v\right)\right]dv$$
　　令$w=x+v$
$$g'(x)=\frac{1}{h^2}\int_{x-\frac{h}{2}}^{x+\frac{h}{2}}\left[f\left(w+\frac{h}{2}\right)-f\left(w-\frac{h}{2}\right)\right]dw$$
$$g''(x)=\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$$
　　由于$f(x)$是连续函数，所以$g(x)$有二阶连续导数
　　令
$$\left\{ \begin{array}{l}
r=u-v\\
s=u+v
\end{array} \right.$$
　　则
$$dudv=\frac{1}{2}drds$$
$$\begin{eqnarray*}
|g(x)-f(x)|&=&\left|\frac{1}{h^2}\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\int_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}[f(x+u+v)-f(x)]dudv\right|\\
&=&\frac{1}{2h^2}\left|\int_{-h}^0dr\int_{-r-h}^{r+h}[f(x+s)-f(x)]ds+\int_0^hdr\int_{r-h}^{-r+h}[f(x+s)-f(x)]ds\right|\\
&=&\frac{1}{2h^2}\left|\int_0^hdr\int_{r-h}^{-r+h}[f(x+s)+f(x-s)-2f(x)]ds\right|\\
&\le&\frac{\int_0^h(2h-2r)dr}{2h^2}\left|f(x+\delta)+f(x-\delta)-2f(x)\right|, 0<\delta<h\\
&=&\frac{1}{2}\left|f(x+\delta)+f(x-\delta)-2f(x)\right|
\end{eqnarray*}$$
　　于是
$$\left\|{g-f}\right\| \le \frac{1}{2}w_2(f,g)$$
　　其中
$$\left\|{g-f}\right\|=\max\limits_{-\infty<x<+\infty}|g(x)-f(x)|$$
$$w_2(f,g)=\sup\limits_{-\infty<x<+\infty,0<\delta<h}|f(x+\delta)+f(x-\delta)-2f(x)|$$