蓝以中上册 向量空间与矩阵 141页 习题五23 解答

castelu

习题五23：
　　证明方阵的迹有如下性质：
（1）设$A, B \in M_n(K)$，那么${\rm Tr}(AB)={\rm Tr}(BA)$；
（2）设$A \in M_n(R)$，那么${\rm Tr}(AA') \ge 0$且${\rm Tr}(AA')=0$的充分必要条件是$A=0$；
（3）设$A, B \in M_n(R)$，且$A'=A$，$B'=B$。那么
$${\rm Tr}[(AB)^2] \le {\rm Tr}(A^2B^2)$$

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解：
（1）设$A=(a_{ij})_{nn}$，$B=(b_{ji})_{nn}$
　　那么
$$AB=\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{ji} \right)_{nn}$$
$$BA=\left(\sum\limits_{i=1}^n b_{ji}a_{ij} \right)_{nn}$$
　　于是
$${\rm Tr}(AB)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}$$
$${\rm Tr}(BA)=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^n b_{ji}a_{ij}$$
　　交换求和顺序
$$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}b_{ji}=\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{i=1}^n b_{ji}a_{ij}$$
　　所以
$${\rm Tr}(AB)={\rm Tr}(BA)$$
（2）设$A=(a_{ij})_{nn}$，$A'=(a_{ji})_{nn}$
　　那么
$$AA'=\left(\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}a_{ji} \right)_{nn}$$
　　于是
$${\rm Tr}(AA')=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}a_{ji}=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n a_{ij}^2$$
　　所以
$${\rm Tr}(AA') \ge 0$$
　　等号成立当且仅当
$$a_{ij}=0, i=1,2,\cdots,n, j=1,2,\cdots,n$$
　　也即
$$A=0$$
（3）此题有两个解法：
　　解法1：
　　令
$$C=AB-BA$$
　　由于
$$\begin{eqnarray*}
{\rm Tr}(CC')&=&{\rm Tr}[(AB-BA)(AB-BA)']\\
&=&{\rm Tr}[(AB-BA)(B'A'-A'B')]\\
&=&-{\rm Tr}[(AB-BA)^2]\\
&=&-{\rm Tr}[(AB)^2+(BA)^2-2ABBA] \le 0
\end{eqnarray*}$$
　　于是
$${\rm Tr}[(AB)^2+(BA)^2] \le 2{\rm Tr}(ABBA)$$
　　再根据
$${\rm Tr}[(AB)^2]={\rm Tr}(ABAB)={\rm Tr}(BABA)={\rm Tr}[(BA)^2]$$
　　和
$$2{\rm Tr}(ABBA)=2{\rm Tr}(AABB)=2{\rm Tr}(A^2B^2)$$
　　所以
$${\rm Tr}[(AB)^2] \le {\rm Tr}(A^2B^2)$$
　　解法2：
　　对
$$A, B \in M_n(R)$$
　　定义
$$(A,B)={\rm Tr}(A'B)$$
　　可以验证$(A,B)$满足线性性，对称性，正定性，它是正定双线性函数
　　从而$M_n(R)$成为$Euclid$空间，$(A,B)$构成$Euclid$空间上的内积
　　于是，$(A,B)$满足$Cauchy$不等式
$$(A,B) \le \sqrt {(A,A)} \cdot \sqrt {(B,B)}$$
　　那么
$$\begin{eqnarray*}
{\rm Tr}[(AB)^2]&=&{\rm Tr}[(BA)'(AB)]\\
&=&(BA,AB)\\
&\le& \sqrt {(BA,BA)} \cdot \sqrt {(AB,AB)}\\
&=&\sqrt {{\rm Tr}[(BA)'(BA)]} \cdot \sqrt {{\rm Tr}[(AB)'(AB)]}\\
&=&\sqrt {{\rm Tr}(ABBA)} \cdot \sqrt {{\rm Tr}(BAAB)}\\
&=&\sqrt {{\rm Tr}(A^2B^2)} \cdot \sqrt {{\rm Tr}(A^2B^2)}\\
&=&{\rm Tr}(A^2B^2)
\end{eqnarray*}$$
　　等号成立当且仅当
$$\exists \lambda^2+\mu^2 \ne 0, \lambda AB+\mu BA=0$$