蓝以中上册 线性空间与线性变换 269页 习题二18 解答

castelu

习题二18：
　　设$M_1$是齐次线性方程
$$x_1+x_2+\cdots+x_n=0$$
　　的解空间，而$M_2$是齐次线性方程组
$$x_1=x_2=\cdots=x_n$$
　　的解空间，证明：$K^n=M_1 \oplus M_2$。

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解：
　　齐次线性方程
$$x_1+x_2+\cdots+x_n=0$$
　　解空间的一组基为
$$\alpha_1=(-1,1,0,\cdots,0),\alpha_2=(-1,0,1,0,\cdots,0),\cdots,\alpha_{n-1}=(-1,0,\cdots,0,1)$$
　　因此
$$M_1=L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-1})$$
　　齐次线性方程组
$$x_1=x_2=\cdots=x_n$$
　　的一般解为
$$\left\{ \begin{array}{l}
x_1=x_n\\
x_2=x_n\\
\cdots\\
x_{n-1}=x_n
\end{array} \right.$$
　　从而它的解空间的一组基为$\beta=(1,1,\cdots,1)$，因此$M_2=L(\beta)$
　　取向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-1},\beta$，由于
$$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{-1}&{1}&{0}&{\cdots}&{0}\\
{-1}&{0}&{1}&{\cdots}&{0}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{-1}&{0}&{0}&{\cdots}&{1}\\
{1}&{1}&{1}&{\cdots}&{1}
\end{array}} \right|=(-1)^{n+1}n \ne 0$$
　　从而$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-1},\beta$线性无关
　　因此它是$K^n$的一组基
　　于是
$$K^n=L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-1},\beta)$$
　　因为
$$\begin{eqnarray*}M_1+M_2&=&L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-1})+L(\beta)\\
&=&L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-1},\beta)\\
&=&K^n
\end{eqnarray*}$$
　　且
$$\dim M_1+\dim M_2=(n-1)+1=n=\dim K^n$$
　　所以
$$K^n=M_1 \oplus M_2$$