蓝以中上册 线性空间与线性变换 329页 习题四19 解答

castelu

习题四19：
　　设$V$是实数域上的一个$n$维线性空间，$A$是$V$内的一个线性变换。证明$A$必有一个一维或二维的不变子空间。

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解：
　　设$A$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下的矩阵为$A$
　　$A$的特征多项式为
$$f(\lambda)=|\lambda E-A|$$
　　根据代数基本定理，$f(\lambda)$至少有一个复根
　　若$f(\lambda)$的根是实根，记为$\lambda_R$，则属于实特征值$\lambda_R$的特征子空间就是$A$的一个一维不变子空间
　　若$f(\lambda)$的根是复根，记为$\lambda_C$，将复特征值$\lambda_C$写成实部和虚部的组合
$$\lambda_C=a+ib(a,b \in R, b \ne 0)$$
　　属于复特征值$\lambda_C$的特征向量记为
$$U+iV(U,V \in R^n)$$
　　那么
$$A(U+iV)=(a+ib)(U+iV)$$
　　比较两边的实部和虚部，即得
$$\left\{ \begin{array}{l}
AU=aU-bV\\
AV=bV+aU
\end{array} \right.$$
　　令
$$\left\{ \begin{array}{l}
\alpha=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)U\\
\beta=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)V
\end{array} \right.$$
　　可见$L(\alpha,\beta)$为$A$的一个二维不变子空间。