蓝以中上册 线性空间与线性变换 330页 习题四31 解答

castelu

习题四31：
　　给定前$n$个自然数$1,2,\cdots,n$的一个排列$i_1i_2\cdots i_n$。在复数域上线性空间$M_n(C)$内定义一个线性变换$P$如下：
$$P\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\
{a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{a_{n1}}&{a_{n2}}&{\cdots}&{a_{nn}}
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{a_{1i_i}}&{a_{1i_2}}&{\cdots}&{a_{1i_n}}\\
{a_{2i_1}}&{a_{2i_2}}&{\cdots}&{a_{2i_n}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{a_{ni_1}}&{a_{ni_2}}&{\cdots}&{a_{ni_n}}
\end{array}} \right)$$
（1）找出$P$的$n$个线性无关特征向量；
（2）若$\lambda_0$是$P$的一个特征值，证明存在正整数$k$，使$\lambda_0^k=1$；
（3）若上述排列取为$234\cdots n1$，证明$P$的矩阵可对角化。

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解：
（1）首先
$$E_i=E_{i1}+E_{i2}+\cdots+E_{in}(i=1,2,\cdots,n)$$
　　显然是$P$的$n$个特征值为$1$的线性无关特征向量
（2）其次，$P$是对$M_n(C)$中的矩阵的列向量组作重新排列，$P^k$也是如此
　　因前$n$个自然数的排列只有有限个
　　故必有
$$P^m=P^l(m>l)$$
　　$P$显然可逆（因为一个非零矩阵经$P$作用后仍为非零矩阵，故零不是$P$的特征值）
　　故有
$$P^{m-l}=E$$
　　若$\lambda_0$为$P$的特征值，则有
$$A \in M_n(C)$$
　　使
$$PA=\lambda_0A,A \ne 0$$
　　令
$$k=m-l$$
　　则
$$P^kA=\lambda_0^kA=EA=A$$
　　因
$$A \ne 0$$
　　故
$$\lambda_0^k=1$$
（3）此题有两个解法
　　解法1：
　　设$P$是由排列$234\cdots n1$决定的线性变换
　　易知
$$P^n=E$$
　　因为
$$x^n-1=\prod\limits_{k=0}^{n-1}\left(x-e^{\frac{2k\pi i}{n}}\right)$$
　　故
$$P^n-E=\prod\limits_{k=0}^{n-1}\left(P-e^{\frac{2k\pi i}{n}}E\right)=0$$
　　从《蓝以中上册 线性空间与线性变换 328页 习题四14 解答》可知$P$的矩阵可对角化
　　解法2：
　　令
$$V_i=L(E_{i1},E_{i2},\cdots,E_{in})(i=1,2,\cdots,n)$$
　　则$V_i$为$P$的不变子空间，且
$$V=V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_n$$
　　于是，从《蓝以中上册 线性空间与线性变换 329页 习题四22 解答》
　　$P$的矩阵可对角化的充分必要条件是$P|_{V_i}$的矩阵可对角化
　　而$P|_{V_i}$在基
$$E_{i1},E_{i2},\cdots,E_{in}$$
　　下的矩阵是
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{1}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}\\
{0}&{0}&{1}&{0}&{\cdots}&{0}\\
{0}&{0}&{0}&{1}&{\ddots}&{\vdots}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\ddots}&{\ddots}&{0}\\
{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}&{1}\\
{1}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}&{0}
\end{array}} \right)$$
　　其特征多项式是
$$\begin{eqnarray*}
|\lambda E-U_i|&=&\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda}&{-1}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}\\
{0}&{\lambda}&{-1}&{0}&{\cdots}&{0}\\
{0}&{0}&{\lambda}&{-1}&{\ddots}&{\vdots}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\ddots}&{\ddots}&{0}\\
{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{\lambda}&{-1}\\
{-1}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}&{\lambda}
\end{array}} \right|\\
&=&\lambda\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\lambda}&{-1}&{0}&{0}&{\cdots}&{0}\\
{0}&{\lambda}&{-1}&{0}&{\cdots}&{0}\\
{0}&{0}&{\lambda}&{-1}&{\ddots}&{\vdots}\\
{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\ddots}&{\ddots}&{0}\\
{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{\lambda}&{-1}\\
{0}&{0}&{\cdots}&{0}&{0}&{\lambda}
\end{array}} \right|+(-1)^n\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{-1}&{0}&{}&{}&{}\\
{\lambda}&{-1}&{0}&{}&{}\\
{}&{\lambda}&{-1}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{\ddots}&{0}\\
{}&{}&{}&{\lambda}&{-1}
\end{array}} \right|\\
&=&\lambda^n-1
\end{eqnarray*}$$
　　它在$C$内有$n$个根
$$e^{\frac{2k\pi i}{n}}(k=0,1,\cdots,n-1)$$
　　因而$P|_{V_i}$矩阵可对角化
　　这又推出$P$的矩阵可对角化
　　现在来找出使$P$矩阵成对角形的一组基
　　为此只需找出$P|_{V_i}$的$n$个线性无关特征向量
　　设
$$w_k=e^{\frac{2k\pi i}{n}}(k=0,1,2,\cdots,n)$$
　　令
$$A_{ik}=E_{i1}+w_kE_{i2}+\cdots+w_k^{n-1}E_{in}$$
　　则
$$\begin{eqnarray*}
w_kA_{ik}&=&w_kE_{i1}+w_k^2E_{i2}+\cdots+w_k^{n-1}E_{in-1}+w_k^nE_{in}\\
&=&w_kE_{i1}+w_k^2E_{i2}+\cdots+w_k^{n-1}E_{in-1}+E_{in}\\
&=&PA_{ik}
\end{eqnarray*}$$
　　这表示$A_{ik}$是$P$的对应于特征值$w_k$的特征向量
　　因为
$$w_0,w_1,\cdots,w_{n-1}$$
　　两两不等
　　故
$$A_{i0},A_{i1},\cdots,A_{in-1}$$
　　线性无关
　　它们就是$P|_{V_i}$的$n$个线性无关的特征向量
　　组成$V_i$一组基
　　在此组基下$P|_{V_i}$的矩阵成对角形。